Алгебра есть теория функций

Вторая часть трактата посвящена приложениям теории функций к геометрии.

Третья часть называется «Приложение теории функций к механике». Здесь Лагранж, переходя от простого случая прямолинейного переменного движения точки к разнообразным типам криволинейного движения, планомерно развивает метод разложения функции в степенной ряд для составления уравнения движения. В научных исследованиях Лагранжа этот метод применялся весьма эффективно, особенно в задачах небесной механики. Так, для определения орбит планет, спутников и комет по трем наблюдениям Лагранж использовал разложение в ряд Тейлора гелиоцентрических координат тела, принимаемого за материальную точку. В разложение включались члены до второго порядка малости. Аналогичным методом Лагранж пользовался в теории возмущений (разлагал в степенной ряд пертурбационную функцию).

К. Маркс правильно оценил историческое место и значение этого трактата и наметил основные периоды в развитии обоснования математического анализа бесконечно малых, дифференциального исчисления – этого эффективнейшего аппарата новой математики.

Первый этап связан с эпохой зарождения дифференциального исчисления в виде теории флюксий Ньютона и теории дифференциалов Лейбница, когда в геометрии и механике некорректными рассуждениями достигались правильные, подчас изумительные результаты. Этот период развития анализа Маркс назвал мистическим, имея в виду неразработанность и кажущуюся таинственность операций дифференцирования функций.

Второй этап, кульминация которого совпадает с серединой XVIII в., характеризуется поисками путей рационализации основ математического анализа, а именно: попытками устранить пробелы, недостатки, некорректности. Наиболее ценных результатов, в этом периоде развития дифференциального исчисления достигли Эйлер и Даламбер. Однако и теория нулей Эйлера, и теория пределов Даламбера страдали некоторыми недостатками, главным из которых была неалгоритмичность основных понятий и операций математического анализа.

В этой обстановке во второй половине XVIII в. возникла еще одна концепция обоснования анализа, которую К. Маркс назвал алгебраической. Главное стремление ученых этого направления – положить в основу математического анализа понятие производной, нахождение которой свести к определенным алгебраическим операциям. Труд Лагранжа «Теория аналитических функций» явился значительной вехой в развитии алгебраического дифференциального исчисления. Предмет своих исследований по теории аналитических функций Лагранж разъяснял следующим образом:

«Собственно говоря, алгебра есть не что иное, как теория функций. В арифметике числа ищут по данным условиям, наложенным на эти и другие числа, и найденные числа удовлетворяют этим условиям, не сохраняя никакого следа операций, служащих для их образования. Напротив, в алгебре искомые количества должны быть функциями данных количеств, то есть выражениями, представляющими различные операции, которые нужно произвести над этими количествами, чтобы получить значения искомых. В алгебре, в собственном смысле слова, рассматривают только первоначальные функции, происходящие из обычных алгебраических операций; это – первая ветвь теории функций. Во второй ветви рассматривают производные функции, и это ветвь, которую мы называем просто «Теория аналитических функций» и которая содержит все, относящееся к новым исчислениям».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Юные годы в Турине
Жозеф Луи Лагранж (содержание)