Анализируя принцип виртуальных скоростей

Обсуждая достоинства принципа виртуальных скоростей, Лагранж прежде всего отмечает его простоту: «...следует во всяком случае признать, что он обладает всей той простотой, какой можно ожидать от основного принципа». Лагранж считает этот принцип наиболее общим в статике, что впервые понял, по его мнению, Иоганн Бернулли. С принципом виртуальных скоростей связан принцип Торричелли, заключавшийся в том, что «если два груза связаны друг с другом и находятся в таком положении, что их центр тяжести не может опуститься ниже, то они в этом положении находятся в равновесии» Принцип виртуальных скоростей, по мнению Лагранжа, «дал повод для появления другого принципа», предложенного Мопертюи в 1746 г. под названием «закона покоя», который позднее был развит и обобщен Л. Эйлером.

«И вообще, мне кажется, – заключает Лагранж, – можно сказать наперед, что все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представляли ли бы собой не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей, рассматриваемый с иной точки зрения и отличающийся от принципа виртуальных скоростей лишь по своей формулировке».

Но самое важное качество этого принципа, по мнению Лагранжа, это то, что он «является не только очень простым и весьма общим; он обладает еще и тем драгоценным и только ему присущим преимуществом перед другими принципами, что он может быть выражен в общей формуле, охватывающей все проблемы, которые могут быть поставлены по вопросу о равновесии тел». Поэтому в основу всей статики Лагранж полагает именно этот принцип.

Говоря о природе этого принципа, Лагранж отмечает, что сам по себе он не очевиден. Поэтому Лагранж приводит обоснование принципа; по существу, он сводит принцип виртуальных скоростей к более очевидным опытным фактам, вводя для этого заменяющую схему полиспастов.

Если в точках некоторой материальной системы приложены любые силы соответственно, то их действие на точки можно заменить действием нерастяжимых нитей, берущих начало в точках прикрепленных к подвижным блокам полиспаста, охваченного единой нитью. Один конец этой нити закреплен неподвижно. От неподвижного конца нить идет через все пары блоков (подвижный – неподвижный), делая на каждой паре столько витков, сколько единиц силы требуется создать в точке ее приложения. Направления сил хорошо моделируются с помощью полиспаста, так как гибкость нити позволяет придавать ей любое нужное направление. Сделав соответствующее число витков на каждой паре блоков, свободный конец нити выходит через неподвижный блок. Здесь помещается единственный груз – общая мера всех сил, принимаемый за единичный груз, он-то и создает нужные усилия во всех точках системы.

Опираясь на принцип Торричелли, Лагранж указывает, что груз я при равновесии системы находится в наинизшем положении, а значит, не будет опускаться. Лагранж записывает это условие математически.

Суммарное выражение, стоящее в левой части равенства, соответствует перемещению груза я. Приравняв нулю это перемещение, Лагранж получил условие равновесия исходной системы сил. Так он ввел знаменитую общую формулу статики, выражающую аналитическую запись самого общего и плодотворного, по мнению Лагранжа, принципа равновесия – принципа виртуальных скоростей.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Вклад Лагранжа в развитие механики
Задачи о равновесии сложных механических систем
Общая формула динамики
Все закономерности динамики
Развитие и приложения общей формулы динамики
Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Жозеф Луи Лагранж (содержание)