Экстремум интеграла для вычисления кривой

Лагранж ввел различие двух видов «дифференциалов» более четко, закрепляя символ для обозначения главной части изменения функции за счет изменения аргумента и предлагая новый символ для изменений, обусловленных переходом от одной кривой к другой, сравнимой. Вместо того, чтобы угадывать соотношения между величинами, как делал это Эйлер, допуская смешение двух видов «дифференциалов», Лагранж вывел это соотношение, опираясь на свойство перестановочности символов (правда, не обосновав это свойство).

Итак, первый важный шаг Лагранжа в разработке нового исчисления – введение нового символа вариации (пока без названия) и утверждение свойства перестановочности двух операций дифференцирования и варьирования.

Второй важный шаг на том же пути – предложение проинтегрировать по частям то соотношение, которое на языке вариационного исчисления называют равенством нулю первой вариации интеграла I. Это равенство Лагранж считал необходимым условием экстремума интеграла по аналогии с обычным дифференциальным исчислением. Эту аналогию он неоднократно подчеркивал и использовал.

Поскольку все рассматриваемые кривые начинались и кончались в одних и тех же точках, то все члены вне интеграла Лагранж приравнивал нулю. Затем он приравнивал нулю подынтегральное выражение и приходил к уравнению Эйлера.

Эйлер был изумлен глубиной мысли туринского дебютанта. Разрабатывая основы вариационного исчисления, он оставил один существенный пробел, не доказав важное соотношение.

По этому поводу он сам высказывал неудовлетворенность: «Итак, необходим еще метод, свободный от геометрических приемов решения, который показал бы, что в таком способе разысканий максимума или минимума.

Деламбр об этом пишет: «Для того чтобы сделать более заметными мотивы, вызвавшие восхищение Эйлера, которое он засвидетельствовал с благородной откровенностью, было бы небесполезно обратиться к источникам различных исследований Лагранжа, на которые он указал нам за два дня до смерти. Первые попытки определения максимума и минимума всех видов неопределенных интегралов были сделаны в связи с кривой наибыстрейшего спуска и изопериметрами Бернулли. Эти исследования переработал Эйлер, дав общий метод в оригинальной работе, где всюду сверкает глубокое владение анализом. Но сколь бы гениальным ни был этот метод, он не имел все же той простоты, какую можно было бы желать в работе по чистому анализу. Автор и сам это понимал; он считал необходимым найти доказательство, независимое от Геометрии и от Анализа».

Это и сделал Лагранж.

В письме к Эйлеру от 20 ноября 1755 г. Лагранж рассмотрел задачу о брахистохроне со скользящим концом, когда конечная точка экстремали оказывалась не фиксированной, а могла принадлежать некоторой линии, характер которой задавался граничными условиями.

Первый мемуар Лагранжа по вариационному исчислению «Опыт нового метода для определения максимумов и минимумов неопределенных интегралов» появился в «Туринских записках» в 1760 – 1761 гг. Во введении излагалась суть метода Эйлера и отмечались его недостатки. Далее Лагранж формулировал вариационную задачу об отыскании экстремума интеграла для некоторой кривой, от которой зависела подынтегральная функция. Решение излагалось почти в том же порядке, как в письмах к Эйлеру. Акцентировалось, что несмотря на различие двух категорий «дифференциалов», определенных различными символами, в самих операциях дифференцирования много общего, ибо они совершаются по одним и тем же правилам. Именно поэтому Лагранж не считал нужным обосновывать приравнивание нулю первой вариации интеграла для получения необходимого условия экстремальности интеграла вдоль искомой кривой. Существенное расширение области вариационного исчисления состояло в том, что Лагранж решал пространственные вариационные задачи.

Здесь же Лагранж рассматривает задачу об отыскании экстремума такого интеграла.

Требуется найти соотношение между частными параметрами, при котором интеграл I имеет экстремум. Так впервые Лагранж ставит и исследует вопрос об экстремуме кратного интеграла.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Вариации на тему интеграла
Решение сложных математических задач
Теория аналитических функций
Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)