Лагранж вводит уравнения движения

Лагранж вводит для системы обобщенные параметры, число которых всегда меньше числа обычных координат (декартовых, сферических или других). Число обобщенных координат равно числу степеней подвижности, или степеней свободы системы. Поэтому обобщенных координат меньше, чем обычных, на число связей, наложенных на систему. Сделав в общей формуле динамики переход к новым параметрам и приравняв нулю скобки, образовавшиеся при вариациях независимых (обобщенных) параметров, Лагранж получает систему обыкновенных дифференциальных уравнений движения. Зная выражения живой силы и силовой функции, можно обойтись без индивидуальных приемов для записи уравнений движения системы; они получаются автоматически из алгоритма, записанного в виде уравнений Лагранжа.

Но иногда (особенно в технике) требуется определить не только характер движения системы и ее частей, но и силы давления на опоры, или реакции связей. Для решения проблем такого характера Лагранж создал другой математический аппарат, обобщив на динамику метод неопределенных множителей, подробно рассмотренный им при изложении статики. Умножив соотношения для вариаций связей, как это делалось в статике, на неопределенные множители (по числу условных уравнений, выражающих на нашем языке соотношения для двухсторонних голономных стационарных связей), Лагранж прибавляет полученные соотношения к Общему уравнению динамики.

Лагранж получает уравнения движения, которые теперь называют уравнениями Лагранжа первого рода. Вместе с уравнениями связей полученные уравнения позволяют найти кинематические уравнения движения. Таким образом Лагранж находит величины сил реакций опор и внутренних связей. В каждой конкретной задаче он выясняет физический смысл неопределенных множителей.

Например, в задаче о движении тела по заданной поверхности Лагранж говорит: «Таким образом, коэффициент служит для определения давления тела на поверхность, заданную уравнением; если же тело движется по заданной линии, то мы будем рассматривать последнюю, как получающуюся пересечением двух поверхностей, выраженных для определения давлений, производимых телом на данную линию перпендикулярно к обеим поверхностям».

В задаче о колебании простого маятника заданной длины Лагранж поясняет: «...натяжение, обозначенное через к, определится следующим образом...» – значит, механический смысл множителя к здесь – натяжение нити.

Изучая движение несжимаемой жидкости, он пишет: «...мы докажем, что величина к, отнесенная к поверхности жидкости, выражает давление, которое здесь производит жидкость и которое, если оно не равно нулю, должно уравновешиваться сопротивлением или действием стенок».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Жозеф Луи Лагранж (содержание)