Метод вариации произвольных постоянных

В аналитической динамике широко используется функция, называемая кинетическим потенциалом, или функцией Лагранжа, иногда, сокращенно – лагранжианом.

В результате варьирования обобщенных координат и обобщенных импульсов время исключается; сумма, стоящая в левой части равенства, сохраняет свою величину во время движения. Этот ценный результат часто называют основной леммой Лагранжа в теории вариации произвольных постоянных. Он сам заметил фундаментальное значение полученного им соотношения. Сумму, стоящую под знаком производной, называют скобкой Лагранжа. Его основная лемма утверждает постоянство всех таких «скобок» за время движения и произвольные постоянные. Как уже отмечалось, Лагранж сам подчеркивал важность полученного результата. Он писал: «Здесь мы имеем новое весьма замечательное свойство функции Т, выражающей живую силу всей системы, которое может дать общий критерий для суждения о точности решения, найденного с помощью какого угодно метода. Но, как мы это покажем ниже, важнейшее применение эта формула

М. В. Остроградский находит для варьирования произвольных постоянных в вопросах механики».

Он не мог еще предугадать всех тех выгод, которые из этой формулы смогли в дальнейшем извлечь его продолжатели: С. Д. Пуассон, Р. Гамильтон, К. Г. Якоби, М. В. Остроградский, Ж. Лиувилль, А. Пуанкаре и др.

Итак, чрезвычайно плодотворной оказалась идея Лагранжа рассматривать произвольные постоянные интегрирования уравнений движения не как постоянные, а как искомые функции времени, и затем в уравнения движения последние превращались бы в тождества.

Р. Гамильтон во «Втором очерке об общем методе в динамике», разработал алгоритм, с помощью которого при использовании скобок Пуассона можно найти все в зависимости от времени. Это составляет основу современного метода вариации произвольных постоянных.

К. Якоби развивал далее этот метод Гамильтона в теории возмущений (т. е. в задачах небесной механики) для интегрирования уравнений возмущений элементов орбит планет. Фактически Якоби продолжает развитие идеи Лагранжа и Пуассона – вариации элементов эллиптических орбит небесных тел. Лемму Лагранжа о свойстве так называемых скобок Пуассона (как уже указывалось, это – видоизмененные скобки Лагранжа), Якоби переработал и оценил, как результат особой важности для аналитической механики и для теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Исключительно большое влияние идей Лагранжа чувствуется в работах М. В. Остроградского. Например, в своей ранней работе «Заметка о вариации произвольных постоянных». Остроградский развил идею Лагранжа о вариации произвольных постоянных для получения интегралов сохранения энергии, движения центра масс системы и площадей. В другой работе – «О вариациях произвольных постоянных в задачах динамики» – он продолжает разрабатывать метод Гамильтона – Якоби интегрирования канонических уравнений Гамильтона, опирающийся на использование скобок Пуассона.

В дальнейшем идею, изложенную Лагранжем в его основной лемме (о сохранении за время движения постоянной величины, называемой теперь скобкой Лагранжа), развивали Ж. Лиувилль и А. Пуанкаре.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)