Нахождение корней уравнения

К началу XIX в. все более укреплялось мнение ученых (и Лагранж был близок к такому утверждению), что буквенные уравнения пятой (и выше) степеней разрешить в радикалах невозможно. Математики стали исследовать наиболее общие выражения, содержащие радикалы, чтобы выяснить, могут ли они быть выражениями корней алгебраического уравнения пятой степени.

В 1799 г. П. Руффини дал первое доказательство невозможности разрешения в радикалах уравнения выше четвертой степени (правда, в его доказательстве было одно необоснованное допущение).

В 1824 г. Н. Абель более строго доказал невозможность решения в радикалах алгебраических уравнений пятой и выше степени. Окончательное исследование этого вопроса было предпринято JI. Кронекером в 80-х годах XIX в.

«Метод исследования у Лагранжа гораздо более современный, чем даже в более поздних работах Руффини и Абеля. Галуа полностью воспринял этот метод, существенно дополнив его. Одним из главнейших дополнений Галуа является четко сформулированное понятие о группе».

Другим чрезвычайно важным направлением развития алгебры, в котором труды Лагранжа также сыграли существенную роль, было доказательство основной теоремы алгебры. Впервые эта теорема была сформулирована в XVII в. А. Жираром и Р. Декартом. Они утверждали, что количество корней уравнения равно его степени, при этом некоторые корни могут быть мнимыми (imaginaires). В 1740-х годах Маклорен и Эйлер придали этой теореме современный смысл. «Всякое уравнение с действительными коэффициентами можно разложить в произведение множителей первой и второй степени с действительными коэффициентами – иными словами, уравнение n-й степени имеет n корней действительных, мнимых или комплексных».

Первое доказательство основной теоремы алгебры было предложено Даламбером в 1746 г., но его подход к проблеме не был чисто алгебраическим.

Эйлер начал исследования проблемы о корнях алгебраического уравнения в те же 1740-е годы. Опираясь на свойства непрерывности многочленов и рассматривая их графики, он доказал три общие теоремы.

1. Всякое уравнение нечетной степени имеет либо один вещественный корень, либо нечетное число их.

2. Всякое уравнение четной степени либо имеет четное число вещественных корней, либо вовсе их не имеет.

3. Всякое уравнение четной степени с отрицательным свободным членом имеет, по крайней мере, два вещественных корня, при этом знаки их различны.

Метод доказательства этих теорем не встречал серьезной критики до XIX в.

Затем Эйлер доказал, что многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители (с действительными коэффициентами) первой и второй степени. Эйлер уже знал и использовал многие важные свойства алгебраических уравнений, которые позже стали связывать с именем Лагранжа, так как последний дальше продвинулся в этих исследованиях.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Юные годы в Турине
Результаты переписки Лагранжа с Эйлером
Споры о произвольной функции
Жозеф Луи Лагранж (содержание)