Нахождение новых методов решения уравнений

Подчеркивая большую широту и общность принципа наименьшего действия, его значение даже за рамками механики, венгерский ученый К. Ланцош пишет: «В то время как ньютоновы уравнения не удовлетворяют принципу относительности, принцип наименьшего действия остается справедливым, с тем лишь дополнением, что основная величина «действия» должна быть приведена в соответствие с требованием инвариантности».

В результате систематизирующей работы Лагранж нашел новый подход к проблеме построения механики. Он вывел различные формы дифференциальных уравнений движения механической системы, гибко видоизменяя их и приспосабливая к различным классам динамических задач: для нахождения уравнений движения наилучшими были так называемые уравнения Лагранжа второго рода, тогда как для нахождения реакций связей и уравнений движения – уравнения первого рода. В последних важную роль играют множители, принимающие в различных задачах разный физический смысл: натяжений нитей, реакций опор, давления жидкости и т. д.

Однако и этим не оканчиваются поиски и находки Лагранжа. Настойчивый поиск эффективных методов интегрирования дифференциальных уравнений движения тоже увенчался успехом – был разработан метод вариации произвольных постоянных. Лагранж видел далекие перспективы нового метода. Он применил его для приближенного интегрирования уравнений движения. В середине XIX в. метод вариации произвольных постоянных был применен для нового вывода некоторых интегралов: живых сил, центра тяжести системы, площадей. Метод вариации произвольных постоянных (в частности, скобки Пуассона, представляющие видоизменение скобок Лагранжа) эффективно используется в теории касательных преобразований и в теории уравнений в вариациях.

Достаточно широк круг и конкретных физических проблем, в разработке которых Лагранж достиг немалых успехов: теория малых колебаний и устойчивости невозмущенного состояния (в первом приближении), теория вращения твердого тела, небесная механика. При решении названных задач Лагранж никак не был формалистом или просто систематизатором ранее известных фактов. Поэтому оценка его деятельности в области механики Трусделлом ограничена и лишена объективности.

Гораздо раньше Трусделла русский ученый А. Н. Крылов отметил недостатки механики Лагранжа, указав их ясно и конкретно, но при этом дал и весьма высокую общую оценку механике Лагранжа: «... могло бы представиться, что изучение «Аналитической механики» для практика, для техника, для инженера бесполезно, между тем это есть первоисточник всех современных руководств (им же несть числа) теоретической механики, и изучение такого первоисточника в высшей степени поучительно и полезно, только в нем надо поучаться математике и общим методам решения механических вопросов, а не искать частных их приложений к технике и физике».

Дав подробный анализ промахов и достижений Лагранжа, А. Н. Крылов заключает: «Таких примеров из техники и физики можно привести неисчислимое множество, но и сказанного достаточно, чтобы видеть то значение, которое имеет знаменитое сочинение Лагранжа в общем развитии науки и техники во всех их областях, и насколько Лагранж был прав, что, не останавливаясь на частностях, придал своему изложению самую общую аналитическую форму; поэтому его методы одинаково приложимы и к расчету движения небесных тел, и к качаниям корабля на волнении, и к расчету гребного вала на корабле, к расчету полета 16-дюймового снаряда и к расчету движения электронов в атоме».

Успехи точных наук в XX в. все более подтверждают правильность такой оценки творчества Лагранжа. Большинство новейших методов дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и теории оптимального управления, аналитической динамики основаны на идеях Лагранжа. Известная монография Дж. Лича «Классическая механика» посвящена анализу выхода аппарата аналитической механики за рамки классической механики в область квантовой механики, статистической физики и теории поля. В ней говорится:

«Наиболее замечательные результаты применения методов Лагранжа и Гамильтона к непрерывным средам получаются при изучении идеализированных сред, называемых полями. Еще одной особенностью, которая может быть здесь отмечена, является релятивистская инвариантность. Оказалось, однако, что изложенную здесь теорию можно принять, в сущности, без изменений».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Юные годы в Турине
Результаты переписки Лагранжа с Эйлером
Споры о произвольной функции
Струны и произвольные колебания
Решение задачи молодым математиком
Результаты проведённых вычислений
Даламбер узнаёт об успехах Лагранжа
Заманчивое предложение в Берлине
Жозеф Луи Лагранж (содержание)