Общая формула динамики

Изложение динамики Лагранж, как обычно, начинает с исторического анализа развития главных направлений, принципов и методов этого учения.

«Динамика – это наука об ускоряющих и замедляющих силах и о переменных движениях, которые они должны вызывать. Это наука целиком обязана своим развитием новейшим ученым, и Галилей является тем лицом, которое заложило ее первые основы».

К XVII в. накопилось большое число конкретных задач, порожденных запросами естествознания и техники: задача о движении планет, о колебании простого и составного маятника, об ударе тел. Настало время разработать общие методы постановки и решения различных задач динамики. Необходимо было создать фундамент этой науки, т. е. сформулировать ее главные понятия и основные принципы. В значительной мере эта задача была выполнена Ньютоном, который, по его собственному выражению, мог далеко видеть, стоя на плечах гигантов.

Исходя из законов, сформулированных Ньютоном, Эйлер превратил механику в четкую количественную теорию с эффективным аналитическим аппаратом дифференциальных уравнений движения различных материальных объектов. Динамика отдельной материальной точки и твердого тела в основных чертах была построена, в то время как динамика системы или механизма (главного объекта науки в период промышленного переворота) представляла принципиальные трудности. Лагранж так охарактеризовал эти новые проблемы. «Однако в том случае, когда исследуют движение многих тел, действующих друг на друга путем удара или давления, будь то непосредственно, как при обычном ударе, или же при посредстве нитей или несгибаемых рычагов, к которым они прикреплены, или же вообще каким-либо иным образом, то этого рода задача не может быть разрешена с помощью приведенных выше положений. Дело в том, что в этом случае силы, действующие на тело, неизвестны и их следует определить на основании действия, которое тела должны оказывать одно на другое в соответствии с их взаимным расположением».

В подобных проблемах, более сложных по сравнению с прежними, механики, как бы вызывая друг друга на соревнование, находили хитроумные, но индивидуальные для каждого случая решения. По словам Лагранжа, конец всем подобным вызовам ученых положило сочинение Даламбера «Динамика», изданное в 1743 г. Даламбер наметил путь построения механики, основанной па едином принципе, хотя на этом пути он сумел сделать только первый – важный – шаг. Даламбер создал принцип, по которому система тел остается в равновесии под действием потерянных побуждений к движению. Поясним смысл принципа, переведя его на язык сил. Силу, приложенную к каждой точке системы, Даламбер геометрически разлагает на такую, которая может быть реализована, и такую, которая теряется из-за связанности точек. Вторую составляющую называют потерянной даламберовой силой. Если на систему подействовать только такими силами, она останется в равновесии. Сам принцип Даламбера не давал никаких уравнений, но применение к потерянным силам какого-либо принципа статики позволяло бы записать уравнения (фактически уравнение движения). Лагранж отмечал, что при всем ценном содержании принципа Даламбера, как бы сводящего Динамику к статике, оставалась некоторая доля кустарных индивидуальных приемов в решении задач динамики. Ведь надо было сначала выбрать удачный принцип статики, приводящий к уравнениям движения системы. Общего алгоритма решения любой задачи динамики еще не было: его позже создал Лагранж.

Аналогичный принцип динамики, но в иной форме, чем принцип Даламбера, высказали в середине XVIII в. независимо от Даламбера Я. Герман и Л. Эйлер. Герман решал задачу о колебании физического маятника, а Эйлер – задачи о колебании твердых, а затем и гибких тел (струны, мембраны), задачи об истечении жидкости из труб. При этом оба применяли следующий принцип: в связанном совместном движении точек системы совокупность «актуальных» (т. е. активных) сил эквивалентна совокупности тех сил, которые требуются для истинного движения этих точек в случае, если бы они были свободными. Силы реакции не всегда участвовали явно, хотя в некоторых случаях Эйлер записывал их и даже определял.

Из двух эквивалентных форм принципа сведения условий движения системы к условиям равновесия некоторых сил Лагранж предпочел воспользоваться принципом Германа – Эйлера: «Этот способ сведения законов динамики к законам статики в действительности является менее прямым, чем способ, вытекающий из принципа Даламбера, но зато он приводит к большей простоте в применениях; он представляет собой возврат к методу Германа и Эйлера, который применил его при разрешении многих проблем механики. В некоторых курсах механики его можно встретить под названием принципа Даламбера».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Все закономерности динамики
Развитие и приложения общей формулы динамики
Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Жозеф Луи Лагранж (содержание)