Основные результаты по теории чисел

Наиболее значительная работа Лагранжа в теории чисел – решение одной из проблем, поставленных еще Диофантом: о квадратных неопределенных уравнениях с двумя неизвестными.

В общем случае исследование вопроса о решении уравнения в рациональных числах опирается на теорему о необходимых и достаточных условиях того, чтобы уравнение допускало решение в целых рациональных числах. Это условие может быть записано в виде равенства для всякого простого числа, входящего в выражение в нечетной степени.

Основываясь на теореме Лагранжа, Лежандр в начале XIX в. сделал первую попытку доказать закон взаимности.

Указав алгоритм для нахождения решений неопределенного уравнения в рациональных числах, Лагранж ставит перед собой задачу: найти решение этого уравнения в целых числах.

Лагранж исследует уравнение в двух случаях: 1) коэффициент отрицательный, 2) коэффициент положительный.

Лагранж доказывает, что в первом случае число решений ограничено. Для второго случая Лагранж использует теорию непрерывных дробей и сводит проблему к решению.

Это решение, называемое уравнением Пелля, было подробно исследовано Эйлером. Лагранж доказал периодичность разложений квадратных иррациональностей в непрерывные дроби и как окончательный результат высказал утверждение: чтобы решение уравнения являлось целым числом, недостаточно, чтобы соответствующее решение уравнения было целым. Далее Лагранж указал достаточные условия существования целых решений уравнения.

В той же работе Лагранж разрабатывает приложение теории делителей квадратичных форм к разложению чисел на множители. Позже П. Л. Чебышев усовершенствовал этот метод Лагранжа в сочинении «Теория сравнений» (1849 г.), удостоенном Демидовской премии.

Еще Ферма и Эйлер исследовали вопрос о представимости натурального числа суммой четырех или менее квадратов. Окончательное решение этого вопроса дал Лагранж в 1770 г. Он воспользовался теоремой Эйлера о том, что всякий делитель суммы двух взаимно простых квадратов может быть представлен как сумма простых квадратов. Лагранж доказал, что, если произведение представимо суммой четырех квадратов, где простое число представимо суммой четырех квадратов.

Позже Серре упростил важные элементы этой теории Лагранжа.

Еще один интересный результат, полученный Лагранжем в теории чисел, – доказательство теоремы Вильсона.

В одном из них разъясняется значение теоремы Вильсона как критерия, дающего возможность различать простые и составные числа (практически этот критерий мало используется из-за трудоемких вычислений). Во втором замечании Лагранж дает другое, более простое доказательство теоремы Вильсона, основанное на применении теоремы Ферма. Сейчас теорема Вильсона и ее следствия широко используются в теории чисел.

Новое исчисление – математический анализ, открытый Ньютоном и Лейбницем, с самого начала XVIII в. получил широкое распространение: ученые быстро освоили приемы дифференцирования и интегрирования, используя их для различных приложений. Многочисленные и разнообразные задачи механики, астрономии, физики решены в трудах тех ученых, которых чаще всего называют математиками. Они получили ключ к решению труднейших и ранее недоступных проблем. Быстрота развития прикладных математических методов не соответствовала глубине разработки логических основ математического анализа. Математики не заботились о строгом обосновании вновь возникавших и развивавшихся подходов в дифференциальном и интегральном исчислении. Справедливость этих методов и всех операций нового исчисления оправдывалась практическими применениями.

«Однако этот могучий арсенал приемов нес в своих основах неразрешенное противоречие между практическими успехами и логической несообразностью приемов оперирования с бесконечно малыми величинами и особенно необоснованностью отбрасывания их. Этому противоречию суждено было в скором будущем проявиться, и притом в резкой форме».

Таково было главное направление развития математики в XVIII в. Однако при всей важности и широте проблематики математического анализа она не исчерпывала актуальных направлений развития математики в целом.

Алгебра уже выходила за рамки вычислительной дисциплины, главной целью которой было отыскание алгоритмов для решения уравнений, где левая часть выражается многочленом. Кроме решения уравнений в радикалах (до четвертой степени включительно), важной проблемой алгебры была разработка общей теории алгебраических уравнений и элементов теории определителей. Задача решения таких уравнений тесно переплеталась с задачей их разрешимости в радикалах. Так определилось важное направление развития математической мысли.

В XVIII в. зародились новые математические дисциплины: вариационное исчисление – эффективный аппарат механики и теоретической физики; теория дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) ; теория вероятностей, теория функций и др.

На стыке всех этих путей развития математики стоят имена выдающихся ученых, чрезвычайно много сделавших для становления и прогресса новых математических дисциплин, – Эйлера, Даламбера, Лагранжа. И если индивидуальные особенности дарования, характер и творчество каждого из них не одинаковы по масштабам, по научному стилю, то их взаимное влияние друг на друга, объединение общих усилий на центральных проблемах эпохи позволяет поставить эти три имени в один ряд.

Эти три «геометра» с полным правом считаются классиками не только математики, но и механики, теоретической физики и астрономии.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Юные годы в Турине
Результаты переписки Лагранжа с Эйлером
Споры о произвольной функции
Струны и произвольные колебания
Решение задачи молодым математиком
Жозеф Луи Лагранж (содержание)