Особенности теории аналитических функций

Лагранж, как и Эйлер, считает, что разложение функции в ряд по целым и дробным степеням всегда возможно. Далее оставалось изучить один вопрос: могут ли в разложении при неопределенных значениях х и i присутствовать дробные степени i.

По мнению Лагранжа, дробные степени i могут появиться лишь из-за присутствия радикала в выражении функции. Тогда и в правой части равенства появятся радикалы.

«Это доказательство является общим и строгим, – пишет Лагранж, – так как х и i остаются неопределенными; однако это теряет силу, если для х задавать определенные значения; может случиться, что f(x+i) содержит радикалы, которых не содержит для определенных значений x».

Таким образом, Лагранж дает обоснование факта разложимости функции в степенной ряд, базирующееся на исключении из рассмотрения особенных случаев, когда показатель степени приращения аргумента i отрицательный или дробный. Тем самым Лагранж ограничивается изучением свойств функций, разложимых в степенные ряды с целыми положительными показателями. Вейерштрасс в 1860-х годах подтвердил такую точку зрения на функции, за которыми долго сохранялось наименование аналитических. Правда, Вейерштрасс расширил класс аналитических функций, включив в него функции, разложимые в степенной ряд с учетом аналитического продолжения.

Главное значение того, что функции представимы степенным рядом, Лагранж видел в следующем. В конкретных задачах геометрии, механики и других прикладных областях знаний функцию с известной степенью точности можно заменить полиномом, объектом изучения алгебры. Лагранж сформулировал теорему, гласящую, что для всех достаточно малых значений приращения аргумента i каждый член разложения может быть сделан больше суммы последующих за ним слагаемых. Это еще не было доказательством сходимости степенного ряда, хотя некоторые математики XIX в. склонны были считать такое свойство ряда гарантией его сходимости.

Важным результатом, полученным Лагранжем в этой области, было введение в анализ специальной формулы для остаточного члена степенного ряда Тейлора и вывод теоремы о конечном приращении функции (или теоремы о среднем).

Одна из глав «Теории аналитических функций» Лагранжа называется «Средство выражения остатков, начиная с некоторого предложенного члена».

Оба эти результата играют исключительно важную роль в математическом анализе и его приложениях. С помощью теоремы о среднем можно, например, определять, какую погрешность функции дает неточное значение величины аргумента (при известных пределах погрешности). При обработке экспериментальных данных приближенные методы изучения поведения функций чрезвычайно важны.

Большое внимание в «Теории аналитических функций» уделяется исследованию исключительных случаев, когда разложение функции по положительным целым степеням невозможно, а также приложению общей теории функций, названных Лагранжем аналитическими, к изучению свойств алгебраических, тригонометрических, показательных и некоторых других функций.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Жозеф Луи Лагранж (содержание)