Принцип движения жидкостей

Касаясь трактата Д. Бернулли «Гидродинамика», Лагранж называет его произведением, «которое вообще блещет анализом, столь же изящным по своему изложению, сколь простым по своим выводам». В основу исследования Д. Бернулли кладет принцип сохранения механической энергии. Он первый правильно решил задачи об истечении жидкости из сосуда, о реакции жидкости. Однако Лагранж считает энергетический принцип ненадежным, так как он к тому времени еще не был доказан в общем виде. Следует заметить, что сам Лагранж вывел этот принцип из своей общей формулы динамики для широкого круга явлений: для консервативных сил, действующих на точки системы со стационарными связями. Однако конечные алгебраические соотношения гидравлики были менее универсальными, чем дифференциальные уравнения движения жидкости. Случаи неустановившегося движения не могли быть описаны энергетическими соотношениями. Вероятно, поэтому Лагранж считал блестящий, по его мнению, анализ «Гидродинамики» Бернулли недостаточным. Лагранж заметил, что принцип Даламбера и его предшественника Я. Бернулли о равновесии потерянных и приобретенных побуждений к движению в данный момент времени давал в руки исследователей более точный метод, нежели энергетический принцип.

Потому Лагранж и считал Даламбера первым, кто свел истинные законы движения жидкостей к аналитическим уравнениям. Именно в его работах впервые появляются точные уравнения движения жидкостей (как несжимаемых, так и сжимаемых) – уравнения в частных производных, которых ранее не знали. Лагранж отмечает: «Однако эти уравнения еще не обладали всей той общностью и простотой, которая им может быть придана. Только Эйлеру мы обязаны первыми общими формулами для движения жидкостей, основанными на законах их равновесия и выраженными в простой и ясной символике частных производных. Благодаря этому открытию вся механика жидкостей была сведена к вопросу одного только анализа, и если бы уравнения, содержащие эту механику, были интегрируемы, можно было бы в каждом случае полностью определить условия движения и действия жидкости, приводимой в движение любыми силами...».

Казалось, что еще можно было бы добавить к развитию точных методов гидромеханики после трудов Эйлера? Однако Лагранж попытался это сделать. Он сформулировал свою задачу так: «Произведенное нами в первой части настоящего труда объединение в одной и той же формуле всех законов равновесия тел как твердых, так и жидких и сделанное нами применение этой формулы к законам движения, естественно, приводит нас к тому, чтобы точно так же объединить динамику и гидродинамику, как ветви единого принципа и как выводы из единой общей формулы».

Уравнения движения идеальной жидкости выводятся из общей формулы динамики. Рассуждениями, аналогичными проведенным для случая равновесия жидкости, Лагранж получает три динамических уравнения, отличающихся от статических присутствием «сил инерции».

Введение нового знака Лагранж объясняет тем, что этот знак нужен «для выражения дифференциалов, относящихся к мгновенному положению смежных частиц, в то время как закон будет относиться только к изменению положения той же частицы в пространстве».

В совокупности получаются четыре уравнения для определения неизвестных. Полученная система четырех уравнений с четырьмя переменными преобразуется Лагранжем к форме, которую принято называть формой Лагранжа: переменными являются начальные значения координат частицы и время. Такие уравнения встречались и в работах Эйлера. Эти уравнения более сложной структуры, чем уравнения в переменных Эйлера, имеют преимущество для неоднородных жидкостей, когда плотность в данной частице, которой приписаны так называемые лагранжевы координаты, не меняются по времени.

При изучении движения идеальной несжимаемой однородной жидкости Лагранж выделяет важный случай, когда скорости обладают потенциалом (хотя термина «потенциал» у Лагранжа нет). Он записывает условия безвихревого течения.

Далее формулируется так называемая теорема Лагранжа о сохранении потенциального течения в идеальной однородной жидкости, если течение началось из состояния покоя. Формулировка этой теоремы дается в чисто математических терминах: «Если движение начинается из состояния покоя, будет для этого мгновения интегрируемо и, стало быть, оно будет всегда интегрируемо в течение всего времени движения».

Далее Лагранж приводит пример, когда выражение не является полным дифференциалом, однако общее уравнение движения и в этом случае может быть проинтегрировано. Пример Лагранжа относится к случаю вращения жидкости с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. В этом частном случае им получен первый интеграл, имеющий характер энергетического соотношения.

Этот результат имеет большое значение в гидродинамике идеальной баротропной жидкости, в более общем виде он был позже получен Коши и стал называться интегралом Лагранжа – Коши. Надо отметить, что в работах Эйлера этот интеграл вводится в 1755 – 1770 гг.

Далее Лагранж рассматривает течение несжимаемой однородной жидкости в поле силы тяжести в сосудах и каналах любой формы. Лагранж теоретически получает результаты, полученные ранее Ньютоном (движение жидкости в неглубоком почти горизонтальном канале) и Даниилом и Иоганном Бернулли (истечение жидкости из узкого почти вертикального сосуда), линеаризируя уравнения движения. Он указывает, в каких границах изменения размеров сосуда и других величин полученные результаты правильны.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Загадка векового ускорения Луны
Работа Лагранжа «О форме колонн»
Жозеф Луи Лагранж (содержание)