Принцип работы виртуальных сил в трудах Фурье

Фурье получил назначение на пост префекта департамента Изер и поселился в Гренобле. Отдавая много сил административной деятельности, Фурье руководил строительством дорог (по его проекту была построена дорога Гренобль – Турин), его занимали топографические работы в связи с осушением болот. Все это не помешало Фурье выполнить в Гренобле обширное оригинальное исследование по теории распространения тепла в твердом теле (1806 – 1811). Основным достижением Фурье по теории распространения тепла было составление дифференциального уравнения теплопроводности и разработка эффективного метода интегрирования такого уравнения – так называемого метода разделения переменных Фурье. Впоследствии этот метод оказался пригодным для более широкого класса дифференциальных уравнений. В основе метода Фурье лежит представление функций (удовлетворяющих определенным условиям) тригонометрическими рядами. В результате глубоких исследований свойств тригонометрического ряда, представляющего данную функцию, Фурье сумел привести первые примеры разложения функций в тригонометрические ряды, когда функции на разных участках заданы различными аналитическими выражениями. Это явилось важным вкладом в разрешение исторического спора ученых о понятии функции. Сам Фурье не смог строго доказать, что произвольная функция разложима в тригонометрический ряд, получивший позже наименование ряда Фурье. Тем не менее его работы положили начало большому циклу исследований, из которых в дальнейшем возникла и развилась теория функций действительного переменного.

Политические события снова ворвались в размеренную жизнь математика во время «Ста дней». Уважение к Бонапарту как к личности, с одной стороны, и неверие в его новое предприятие, с другой, привели Фурье к решению покинуть Гренобль. Но из Лиона, куда выехал ученый, монархисты вынудили его возвратиться снова в Гренобль. Обе стороны обвиняли Фурье в трусости и измене. Бонапарт осыпал его упреками, в ответ на это Фурье признался, что не верит в его успех. Оценив честность математика, известную ему и ранее, Наполеон дал ему титул графа и назначил префектом Роны. Фурье отнесся к получению титула равнодушно. Когда «Сто дней» второго правления Наполеона кончились, Фурье оказался без должности и средств.

В мае 1817 г. Фурье был избран в члены Парижской академии наук (так вновь стал называться Институт Франции после реставрации Бурбонов).

В 1822 г. Фурье опубликовал трактат «Аналитическая теория тепла». В том же году он был избран секретарем Академии наук и оставался на этом посту до конца жизни.

Единственной работой Фурье по механике был «Мемуар о статике, содержащий доказательство принципа виртуальных скоростей и теорию моментов». Наиболее интересным положением этой работы явилось рассмотрение случаев равновесия сил, приложенных к точкам механической системы с неудерживающими связями (такого или подобного термина у самого Фурье нет). В качестве примеров Фурье рассматривал равновесие двух твердых тел, поверхности которых прижимаются в точке их соприкосновения двумя равными и противоположно направленными силами, перпендикулярными к обеим поверхностям в точке их касания; равновесие гибкой нерастяжимой нити под действием двух сил, приложенных к ее концам. Фурье утверждал (без доказательства), что необходимое условие равновесия нити под действием таких сил – это неотрицательность «полного момента сил» на виртуальных перемещениях точек приложения. По терминологии того времени «полным моментом сил» называлась сумма элементарных работ всех активных сил на виртуальных перемещениях их точек приложения, взятая со знаком минус. Таким образом, условие равновесия системы сил при неудерживающих связях записывалось в виде требования неположительности суммы элементарных работ всех сил на виртуальных перемещениях. М. В. Остроградский при разработке общей теории принципа возможных перемещений, начатой в 1834 г., исходил из записи этого принципа в мемуаре Фурье.

Кроме того, Фурье предложил новую заменяющую схему рычагов с грузами вместо произвольной системы сил, приложенных в точках системы. С помощью такой заменяющей схемы Фурье пытался дать строгое доказательство принципа виртуальных скоростей. В той же тетради «Журнала Политехнической школы» появилось и доказательство заменяющей схемы Лагранжа.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Перестройка Королевской академии наук
Учёные Королевской академии наук
Академики – участники политических событий
Членский состав Академии наук
Реформы школьного и высшего образования
Трактат о воспитании Лепелетье
Открытие школ нового типа
Деятельность политехнической школы
Жозеф Луи Лагранж (содержание)