Проблемы определения орбиты небесных тел

Математическая сторона проблемы определения шести элементов орбиты по трем наблюдениям представляла чрезвычайно большие трудности, перед которыми остановился даже Эйлер.

В 1777 г. эта проблема была выдвинута на конкурс Берлинской академии наук. Работы Ламберта и Лагранжа, получившие премии, не вносили, однако, существенно нового в решение задачи. Важным все же оказалось то, что Лагранж всерьез заинтересовался кометной проблемой и посвятил ей ряд работ. В обычном для него историческом анализе подходов предшественников (Ньютона, Эйлера, Ламберта) Лагранж весьма высоко оценил графический метод Ньютона определения параболических орбит. Астрономы XVIII в. избегали применять этот метод, считая его неудобным. Лагранж переработал методы Ньютона, Эйлера и Ламберта. В отличие от Эйлера, определявшего орбиты по четырем наблюдениям, Лагранж дал аналитический метод определения орбиты по трем наблюдениям.

«Обращаясь теперь к проблеме точного определения геоцентрических расстояний, мы можем отметить, что Гауссу оставалось лишь полностью осуществить ту программу, которую дал Лагранж: последовательными приближениями находить все более и более точные значения, пользуясь для этого отношением площадей секторов и треугольников, заключенных между радиусами -векторами. Эту программу Лагранж выполнил лишь для случая параболической орбиты; что же касается несравненно более трудных случаев эллиптической или гиперболической орбиты, то ... Лагранж отказался здесь от проведения своей идеи до конца и перешел на другой путь».

Упомянутые здесь величины необходимы для выражения координат первого и третьего наблюдения через соответствующие координаты второго наблюдения. Тот новый путь, которым пошел Лагранж в решении проблемы, сводится к разложению в ряды координат тела по радиусу -вектору. Лагранж нашел очень полезное промежуточное соотношение геометрического характера, упрощающее решение задачи. В дальнейшем идеи Лагранжа в этой области были развиты К. Гауссом в сочинении «Теория движения небесных тел» (1809).

Заметный научный вклад внес Лагранж в решение классической проблемы п тел. Особенно подробный анализ он провел для трех тел. Задачу об относительном движении трех тел Лагранж свел к интегрированию системы девяти дифференциальных уравнений второго порядка. Главной его заслугой было понижение порядка системы с 18 до 7: преобразованием исходной системы он получил одно дифференциальное уравнение третьего порядка и два – второго. Таким образом, сложнейшая система дифференциальных уравнений сводилась к трем дифференциальным уравнениям, эквивалентным системе уравнений седьмого порядка. Эти результаты, вошедшие в трактат «Аналитическая механика», были опубликованы впервые в 1772 г. Однако столь важное продвижение на пути решения проблемы трех тел мало приблизило окончательное ее разрешение. Вот что пишет об этом Н.И. Идельсон: «...сложность полученной Лагранжем нелинейной системы (которая в явном виде у него даже не написана) такова, что всякая надежда на возможность ее интегрирования должна была быть оставлена; и задача трех тел – с физической точки зрения столь элементарная – предстала после появления мемуара Лагранжа как некий вызов, брошенный природой человеческому уму; ничего не оставалось иного, вплоть до работы Зундмана, подошедшего к проблеме с новой точки зрения, как рассматривать отдельные частные случаи или целые классы частных решений при тех или иных ограничениях общей проблемы».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Загадка векового ускорения Луны
Работа Лагранжа «О форме колонн»
Проблемы математического анализа
Вариационное исчисление
Экстремум интеграла для вычисления кривой
Жозеф Луи Лагранж (содержание)