Работа Лагранжа «О форме колонн»

Еще в средние века было замечено, что прочность колонн, поддерживающих тяжелые части сооружений, зависит не только от их толщины, но и от высоты.

Встречаются упоминания о том, что вопрос о сопротивлении колонн изгибу интересовал Леонардо да Винчи. Он считал, что их несущая способность обратно пропорциональна длине, но прямо пропорциональна площади поперечного сечения колонны.

Известны опыты голландского физика Мусшенбрука по сжатию стержней, проделанные в 1720 г. на специально придуманном для этого станке. Мусшеибрук описал эмпирически установленную им зависимость: сопротивление сжатых стоек одинакового сечения обратно пропорционально квадратам их длин. Так была установлена первая количественная зависимость, относящаяся к продольному изгибу конструкции. Парижанин Ж. Бюффон, младший современник Мусшенбрука, критиковал опыты последнего, считая, что на малых образцах, какими располагал Мусшеибрук, нельзя получить данные для больших колонн. Я. Бернулли пришел к правильному выводу о том, что кривизна изогнутой балки пропорциональна изгибающему моменту в данной точке. Этой зависимостью воспользовался JI. Эйлер; методами вариационного исчисления в 1744 г. он исследовал девять частных случаев, когда угол между направлением силы, сжимающей стержень, и направлением касательной к упругой линии в точке приложения силы мал. В этом случае величина нагрузки, при превышении которой начнется выпучивание стержня или колонны, как установил

Эту величину принято теперь называть наименьшей критической силой продольного изгиба; Эйлер назвал ее силой колонны.

В работе 1757 г., названной «О силе колонн», Эйлер несколько детализировал свое прежнее исследование по теории продольного изгиба. Он углубил понятие абсолютной упругости, зависящей от природы вещества, установив, что эта величина имеет размерность силы, умноженной на квадрат длины. Далее он исследовал продольный изгиб стержней переменного сечения. В более поздних работах Эйлер дал решение трудной задачи о продольном изгибе стержня постоянного сечения под действием собственного веса, рассмотрев стержень с шарнирами на концах.

Работы Лагранжа по продольному изгибу непосредственно примыкают к работам Эйлера. Первая его работа «О форме колонн» вносит важный вклад в теорию упругих кривых. Как и Эйлер, Лагранж рассматривает призматический стержень с шарнирами на концах, получающий малый прогиб под действием продольной силы Р. Приближенное дифференциальное уравнение оси стержня он записывает так же, как это делал Эйлер в работе «О силе колонн» и показал, что оно удовлетворяет условиям на конце только в том случае, если уравновешена.

Исходя из этого результата, Лагранж вывел величину нагрузки колонны, вызывающей лишь малый прогиб.

Отсюда следует, что изогнутая ось может иметь не одну форму, а несколько. Величины нагрузок, по Лагранжу, превышали величины, указанные Эйлером в 4 раза, в 16 раз. Первому случаю соответствует малый прогиб в виде одной выпуклости, или одной полуволны, во втором – полная волна, или выпуклость и вогнутость. Лагранж исследует прогибы, появляющиеся после превышения критического значения нагрузки. Далее он исследует продольный изгиб колонн переменного сечения, в частности тел вращения. Он ставит и решает задачу о нахождении профиля колонны, которая при вращении вокруг оси обеспечила бы ей эффективную форму. В качестве меры эффективности Лагранж взял отношение критической нагрузки к квадрату объема колонны.

Он пришел к выводу, что колонна наибольшей эффективности имеет форму цилиндра. Позже Лагранж пересмотрел это решение заново. Впоследствии этой задачей занимались Т. Клаусен, Е. Л. Николаи и др.

Во второй работе на ту же тему – «О силе плоских пружин» (1771) – Лагранж рассматривает продольный изгиб полосы постоянного сечения, один конец которой защемлен, а к другому приложена сосредоточенная продольная сила. Решение, найденное им для этого случая, оказалось малопригодным для практики.

Итак, в трудах Эйлера и Лагранжа теория продольного изгиба была строго обоснована, однако практики XVIII в. мало пользовались этой теорией. Английские инженеры и ученые, например Робинс, относились к результатам математической теории Эйлера продольного изгиба с большим недоверием. Отчасти это объяснялось неудовлетворительной постановкой эксперимента. Не слишком тщательно поставленные опыты Годкинсона по сжатию чугунных стоек в 40-х годах XIX в. надолго подорвали доверие инженеров к теории Эйлера. Только ряд катастроф вызвал необходимость проводить новые опыты, которые вернули заслуженное признание теории Эйлера – Лагранжа. Первые надежные испытания колонн провели Баушингер (1886), Тетмайер (1890) и Консидер (1889).

Заслуга построения точной теории продольного изгиба на базе анализа перечисленных экспериментальных данных и реабилитация теории Эйлера – Лагранжа принадлежит талантливому польскому инженеру и ученому, питомцу петербургского Института инженеров путей сообщения (а впоследствии профессору этого института) Ф. С. Ясинскому. В работе «О сопротивлении продольному изгибу» Ясинский впервые убедительно доказал состоятельность теоретического расчета точными методами критического значения нагрузки при продольном изгибе. Он провел интегрирование не приближенного, а точного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня по аргументу переменной дуги изогнутой оси. Среди рассмотренных Ясинским двенадцати случаев сжатия стержней имеется много оригинальных задач о продольном сжатии элементов многорешетчатых ферм, имеющих важное практическое значение и получивших широкое распространение не только в России, но и за ее пределами. Во многих случаях Ясинский подтвердил вслед за Лагранжем результаты Эйлера.

Ясинский не ограничился изучением только продольного изгиба колонн и стержней. Он составил таблицу критических значений напряжения при продольном изгибе в зависимости от гибкости. Его труды заложили основы инженерной теории расчетов сооружений на устойчивость, положив начало строительной механике.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Проблемы математического анализа
Вариационное исчисление
Экстремум интеграла для вычисления кривой
Вариации на тему интеграла
Решение сложных математических задач
Теория аналитических функций
Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Жозеф Луи Лагранж (содержание)