Работы по алгебре в деятельности Лагранжа

Один из членов туринского кружка математиков, группировавшихся вокруг молодого Лагранжа, – Фонсене – обратил внимание на некоторые неточности в рассуждениях Эйлера, обусловленные уровнем развития алгебры в первой половине XVIII в. Фонсене предложил свое доказательство основной теоремы алгебры, но оно тоже не было строгим.

В 1772 г. Лагранж, сохранив основную идею доказательства Эйлера, постарался восполнить пробелы его рассуждений. При этом он опирался на результаты своей работы «Размышления об алгебраическом решении уравнений», где развивается теория «подобных» функций. В работе 1772 г., называвшейся «О виде воображаемых корней уравнения», Лагранж проводит доказательство основной теоремы алгебры, во многих звеньях рассуждений следуя по пути, намеченному Эйлером. В основу доказательства положен тот факт, что всякое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. Далее усилия Лагранжа направлены на то, чтобы разложить левую часть уравнения четной степени на многочлены более низких степеней.

Вопрос сводится к исследованию уравнения степени. Лагранж утверждает, что для коэффициентов его делителей степени получаются биквадратные уравнения. Затем он проводит более детальный анализ и показывает, что этим путем можно решить любое уравнение. Большой заслугой Лагранжа является строгое доказательство (на основе учения о «подобных» функциях) возможности редукции, сводящей нахождение корня уравнений степени к нахождению корня уравнения степени.

Гаусс указал на необоснованность в рассуждениях Эйлера, Лагранжа и их последователей. Фактически постулировалось предположение о самом факте существования корней уравнения. Во втором доказательстве основной теоремы алгебры в 1815 – 1816 гг. Гаусс без такого предположения построил рассуждения по тому же способу, по которому действовал Эйлер, а затем Лагранж.

Другие интересные работы Лагранжа по алгебре касаются методов приближенного вычисления корней алгебраического уравнения, метода отделения корней такого уравнения, способа построения результанта для системы уравнений и метода разложения корней буквенных уравнений в ряды.

Ценные результаты встречаются не только в основных работах Лагранжа, но и в других сочинениях, например в «Приложении к элементам алгебры Эйлера», которое Лагранж сам перевел на французский язык. Он дал систематическое изложение теории непрерывных дробей, разработав разнообразные приложения этой теории к алгебре и арифметике. Кроме того, Лагранж написал ряд интересных статей, стоящих на грани теории чисел и алгебры, например он провел разработку теории диофантовых приближений.

В целом алгебраические работы Лагранжа содержат много конкретных результатов, дающих алгоритмы решения буквенных и числовых уравнений. Из общетеоретических исследований Лагранжа по алгебре наибольшее значение имеют работы, подготовившие аппарат теории Галуа. В этих исследованиях Лагранж развил глубокие методы алгебры, которые в дальнейшем легли в основу теории групп и полей.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Юные годы в Турине
Результаты переписки Лагранжа с Эйлером
Споры о произвольной функции
Струны и произвольные колебания
Жозеф Луи Лагранж (содержание)