Разработка проблем гидромеханики

Лагранж глубоко изучил классические сочинения по гидромеханике, чтобы представить себе динамику развития этой науки и выявить наиболее рациональные пути ее развития. В исследовании «О различных принципах гидростатики», он указывает, что первыми принципами равновесия жидкостей наука обязана сочинению Архимеда «О плавающих телах» Там выводится из предварительных эмпирических постулатов теорема, которую теперь называют гидростатическим законом Архимеда: тела, погруженные в жидкость, «теряют» часть своего веса, равную весу вытесненной жидкости (точнее, тела испытывают давление жидкости, направленное вверх и равное весу вытесненной жидкости).

В XVII в. Стевин открыл парадокс, состоящий в том, что жидкость может производить давление, гораздо большее собственного веса. Модель так называемого «поверхностного сосуда» Стевина (как бы затвердевшая оболочка, окружающая любую часть покоящейся жидкости, мысленно вырезаемую из ее объема) привела его к ряду важных результатов: объяснению закона сообщающихся сосудов, расчету давления покоящейся жидкости на дно, на боковые стенки, на наклонные стенки плотин и т. д. Лагранж отмечает, что методы Стевина и его предшественников в гидростатике совершенно отличны от известных к тому времени методов статики, а значит, назрела необходимость «связать между собой эти две дисциплины и подчинить их одному и тому же принципу».

Лагранж указывает далее, что Галилей был первым ученым, который сделал попытку увязать статику и гидростатику на базе принципа виртуальных скоростей. В сочинении «Диалог о предметах, которые находятся в воде или которые в ней движутся» Галилей выводит из этого принципа закон равновесия воды в сифоне, равновесия тела, погруженного в жидкость и пр. Р. Декарт, Б. Паскаль и П. Вариньон также применяли этот принцип в гидростатике. Лагранж высоко оценивает идею внедрения принципа виртуальных скоростей во все отрасли механики (статики и гидростатики), но критикует несовершенство математической формы разработки этого принципа, что приводило ученых к туманным полуэмпирическим высказываниям: «Однако указанные применения принципа виртуальных скоростей были еще слишком гипотетичными и, если можно так выразиться, слишком робкими (laches), чтобы послужить основой для разработки строгой теории равновесия жидкостей».

X. Гюйгенс в исследованиях равновесия жидкости исходил из положения о перпендикулярности тяжести к поверхности жидкости, Ньютон – из принципа равенства весов центральных столбов, что не всегда согласовывалось с положением Гюйгенса. Маклорен, развивая в исследовании равновесия жидкости путь Ньютона, выдвинул положение о том, что каждая частица покоящейся жидкой массы должна одинаково сжиматься всеми прямолинейными столбами жидкости, опирающимися на эту частицу и заканчивающимися на поверхности. Клеро дал аналитическую разработку этого принципа, благодаря чему, по словам Лагранжа, гидростатика превратилась в новую науку.

Завершающим шагом на пути развития гидростатики были работы Эйлера. Он отнес все силы, действующие на жидкость в состоянии равновесия, к трем взаимно перпендикулярным осям; выделил мысленно из всей массы жидкости элементарный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, и записал три уравнения в частных производных, связывающих давление с заданными силами и выражающих условия равновесия жидкости. Лагранж высоко оценивает результаты Эйлера. Он заканчивает описание названного метода такими словами: «Этот простой способ нахождения общих законов гидростатики ведет свое начало от Эйлера («Меmoires de Berlin», 1775); в настоящее время этот способ принят почти во всех руководствах по этой отрасли науки. Принцип равенства давления по всем направлениям является, таким образом, до настоящего времени основой равновесия жидкостей...»

Но далее Лагранж показывает, что этот принцип легко выводится «непосредственно из самой природы жидкостей», если рассматривать последние «как собрания молекул, сильно разобщенных, независимых друг от друга и способных совершенно свободно двигаться во всех направлениях...».

Именно такой способ вывода всех законов равновесия жидкостей разрабатывает Лагранж в своей «Гидростатике». Он исходит из принципа виртуальных скоростей, записанного в аналитическом виде общей формулы его статики.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Жозеф Луи Лагранж (содержание)