Развитие и приложения общей формулы динамики

Рассматривая различные типы механических систем с точки зрения различных классов возможных перемещений, допустимых природой системы, Лагранж приходит к формулировке общих свойств движения, которые теперь называются теоремами динамики системы: теорема о движении центра масс, когда система может поступательно перемещаться в данном направлении; теорема об изменении кинетического момента системы, когда связи системы допускают ее вращение в целом вокруг некоторой неподвижной оси, и теорема живых сил для случаев, когда действительные перемещения точек системы принадлежат к числу возможных перемещений.

Далее Лагранж преобразовал общую формулу динамики и заново вывел все общие свойства движения для случая, когда силы импульсивные.

Наконец, он перешел к изложению принципа наименьшего действия. Первоначально принцип наименьшего действия появился в работах астронома и механика П. Мопертюи в виде общего закона природы, по которому количество действия в механических, оптических и других явлениях расходуется минимально; именно это свойство – минимум действия – отличает истинную траекторию частицы от сравнимой. Мерой действия Мопертюи считал сумму произведений масс частиц на их скорости и на элементы пути. Мопертюи применил свой принцип для расчета соударения двух упругих тел и для вывода законов отражения и преломления света. Исходя из этих, довольно специальных применений принципа, Мопертюи придавал универсальное значение этому закону. Более того, он, по словам Даламбера, извлекал отсюда новое доказательство существования бога. Природа, рассуждал Мопертюи, при совершении своих действий избирает всегда наиболее простые пути, что наилучшим образом подтверждает существование бога, который мудро управляет Вселенной и совершающимися в ней изменениями. Как правильно отметил Даламбер, там, где речь идет просто об изменении скорости тел при ударе, Мопертюи говорил не иначе, как «об изменении в природе»; там, где речь идет об экстремальности некоторой количественной характеристики при ударе тел, Мопертюи говорит о том, что природа действует всегда по самому простому пути.

Против теологического толкования механических законов и результатов Мопертюи выступили многие механики и математики, философы и публицисты. В дискуссии приняли участие Д’Арси, Кёниг, Куртиворон, Эйлер, Даламбер, Вольтер, который зло высмеивал президента Берлинской академии наук Мопертюи, критикуя все его действия и особенно «доказательство» существования бога на основе законов механики.

Заслуга аналитического оформления принципа наименьшего действия, новой записи выражения действия, правильного понимания принципа и его новых приложений принадлежала Л. Эйлеру, благодаря которому этот закон получил общее признание.

Лагранж заинтересовался этим принципом еще в Турине, он придал новую форму выражению действия.

Как и Эйлер, Лагранж утверждает, что истинное движение системы отличается от ее кинематически возможных движений тем, что вариация действия для истинных движений равна нулю.

В начале своего творчества Лагранж придавал фундаментальное значение этому принципу механики, указывал ряд интересных приложений этой закономерности. Но ко времени создания «Аналитической механики», имеющей единую базу в виде общей формулы динамики, он изменил свой взгляд на значение принципа наименьшего действия. Он дал в трактате следующую оценку роли этого принципа: «Таков тот принцип, которому... я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики».

Далее Лагранж переходит к изложению одного из важнейших оригинальных результатов своей аналитической динамики – к выводу из общей формулы динамики так называемых уравнений Лагранжа второго рода, а затем уравнений Лагранжа первого рода (с множителями; они названы так, видимо, потому, что метод был изложен ранее).


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Жозеф Луи Лагранж (содержание)