Решение сложных математических задач

Лагранж впервые рассмотрел классическую задачу о нахождении экстремума функционала при дополнительных условиях или ограничениях, налагаемых на экстремали. Задача ставилась так: требуется найти экстремум интеграла и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Лагранж наметил пути решения таких задач, не очень заботясь о доказательстве существования решения (как это было и в общих проблемах вариационного исчисления). Для решения задач на нахождение условного экстремума он ввел метод множителей, аналогичный тому, который использовался им для решения задачи об экстремуме в дифференциальном исчислении.

В задачах механики неопределенные множители Лагранжа приобретали конкретный физический смысл, о чем уже говорилось при разборе «Аналитической механики».

К началу XIX в. еще но был решен вопрос о том, как различать вид экстремума, как выяснить, достигает функционал максимума или минимума на кривой, найденной из уравнения Эйлера. Лагранж продолжил аналогию с дифференциальным исчислением и исследовал вторую вариацию функционала. Лежандр и Лагранж наметили пути исследования достаточных условий максимума (или минимума) функционала, однако общего метода создать не смогли. Это сделал К. Якоби в 1837 г.

Подводя итог краткому обзору основных достижений методов вариационного исчисления, разработанных Лагранжем (его достижения неразрывно связаны с результатами других ученых этой эпохи и прежде всего с фундаментальными исследованиями Эйлера), следует отметить, что к концу XVIII в. вариационное исчисление сделалось самостоятельной математической дисциплиной, приняв довольно завершенную форму в рамках теории первой вариации. Объектом изучения пока еще был только слабый экстремум функционала (величины молчаливо предполагались бесконечно малыми). В качестве экстремалей, в соответствии со сказанным, рассматривались гладкие кривые. Ценность нового исчисления подтверждалась разнообразными приложениями в геометрии и в механике.

Но даже в рамках такой «наивной» теории вариационного исчисления существовал ряд пробелов. Главным из них был недостаток обоснованности метода Эйлера – Лагранжа: «В вариационном исчислении уравнение Эйлера и условие трансверсальности принадлежат к так называемым необходимым условиям. Они получены посредством точно таких же рассуждений, как в парадоксе Перрона: они подразумевают существование решения. Это основное предположение делается явно, а затем используется для отыскания решений, существование которых было постулировано. Для класса задач, в которых это предположение выполняется, такие рассуждения вполне правильны. Но что это за класс? Как выяснить, принадлежит ли частная задача этому классу? Так называемые необходимые условия не отвечают на подобные вопросы... Впервые метод Эйлера – Лагранжа был подвергнут критике Вейерштрассом почти сто лет спустя».

Подобно математическому анализу в XVIII в., построенному по аналогии с основными алгебраическими операциями, вариационное исчисление в это же время строилось по аналогии с известными операциями анализа. Творцы этих мощных математических методов не успевали позаботиться о создании более прочного и основательного фундамента своего учения.

В наше время классическое вариационное исчисление легло в основу новейших математических методов теории оптимального управления: «Теперь видно, что задача Лагранжа по существу не отличается от задачи оптимального управления: просто последняя представляет собой более современную формулировку первой. Иногда указывают на небольшие видимые различия, но на самом деле они совсем несущественны».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Теория аналитических функций
Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Жозеф Луи Лагранж (содержание)