Решение уравнений низкой степени

К. Васильев отмечал ряд недостатков и непоследовательностей в теории аналитических функций Лагранжа, в частности отсутствие четкого алгоритма нахождения производной тех или иных классов функций.

Важнейшим итогом развития математического анализа в XVIII в. (и в этом заслуги Лагранжа неоспоримы) была разработка теории степенных рядов как способа представления функций и для решения разнообразных задач геометрии, механики, астрономии и физики. В очерке приводились многочисленные примеры использования этого аппарата в трудах Лагранжа по механике и астрономии. К набору приемов, созданных Ньютоном, Тейлором и Маклореном, Лагранж присоединил степенной ряд с остаточным членом специального вида. Теорема Лагранжа о среднем позволяет проводить важные исследования поведения функции в заданном интервале.

Даже без строгих критериев сходимости степенного ряда, представляющего аналитическую (по Лагранжу) функцию, метод разложения давал множество ценных результатов в небесной механике, гидромеханике, теории упругости и других областях.

Основные результаты Лагранжа в алгебре

«Поворотным пунктом в истории проблемы решения уравнений в радикалах явились исследования Лагранжа».

Разработкой этой проблемы Лагранж занимался в Берлинской академии наук, результаты были изложены в мемуаре «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (1770 – 1773). Лагранж проводит критический анализ всех существовавших ранее способов решения уравнений с первой степени по четвертую. При этом стремится ответить на вопрос, почему ни один из этих способов не годится для решения уравнений пятой степени. Он надеется на этом пути наметить общие приемы решения уравнений любой натуральной степени и рассматривает уравнение с буквенными коэффициентами.

Он обращает внимание на то, что существующие способы решения сводятся к задаче нахождения среди всех рациональных функций от корней уравнения таких, которые принимали бы при всевозможных перестановках корней к различных значений, причем к меньше, чем степень исходного уравнения.

Таким образом, если задача сводится к решению некоторого уравнения более низкой степени, такое уравнение Лагранж называет разрешающим. Это уравнение послужило исходным пунктом исследований французского математика начала XIX в. Э. Галуа (впоследствии уравнение получило название резольвенты Галуа). Важнейшим положением теории Э. Галуа было четко сформулированное им понятие группы.

«Работы Галуа оказали очень большое влияние на дальнейшее развитие алгебры и привели, в частности, к созданию теории групп, основное содержание теории Галуа составляет изучение коммутативных полей при помощи результатов и методов теории групп».

Фактически понятия группы и подгруппы (без формального их определения) ввел Лагранж, рассматривая группу подстановок корней уравнения. Подстановки, на которых рациональная функция принимает одно и то же значение, образуют подгруппу. Таким образом Лагранж акцентирует внимание на выборе такой подгруппы из группы подстановок корней уравнения, у которой индекс был бы наименьшим. Индекс нужной подгруппы равен к – степени уравнения.

Оставалось найти способ определения функции. Лагранж эмпирически убедился, хотя и не сумел строго доказать.

Лагранж указал способ решения уравнений, названных позже циклическими. Способ Лагранжа не потерял своего значения и в более поздней теории решения уравнений в радикалах.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Нахождение новых методов решения уравнений
Юные годы в Турине
Результаты переписки Лагранжа с Эйлером
Жозеф Луи Лагранж (содержание)