Решение задачи молодым математиком

В 1759 г. Лагранж послал Даламберу первый том «Туринских записок» чтобы ознакомить великого геометра со своими результатами о природе и распространении звука. Даламберу показалось недостаточно обоснованным одно место в рассуждениях молодого Лагранжа, а именно, что всякая функция, заданная аналитически, может быть всегда представлена тригонометрическим рядом. Лагранж, как уже говорилось, верил в возможность доказательства этого положения.

Тем не менее Даламбер, несмотря на некоторые сомнения в указанном пункте, очень высоко оценил общее значение исследования еще неизвестного ученого. Даламбер понял, что имеет дело хотя и с очень молодым, но равным ему по силе математиком. По поводу нового решения задачи о колебании струны, предложенного Лагранжем, Даламбер писал: «До свидания, сударь, Вы достойны, если я не ошибаюсь, играть великую роль в науках, и я аплодирую началу Вашего успеха».

Не менее выдающиеся результаты были получены в кто время Лагранжем в другой, новой области математики – в вариационном исчислении. Первые шаги здесь были стланы Л. Эйлером в сочинении «Метод нахождения кривых линий, обладающих максимумом или минимумом...» (1744). Тут ставилась задача об отыскании таких линий, которые сообщают какому-нибудь выражению экстремальное значение. По существу, Эйлер рассматривал задачи на нахождение двух видов экстремумов: абсолютных и относительных (т. е. таких, в которых накладывалось некоторое дополнительное условие на класс сравнимых линий).

Фактически Эйлер оперировал понятием о вариации кривой в точке, рассматривая вместе с основной кривой и другие кривые, бесконечно мало отличающиеся от первой в бесконечно малой окрестности точки. Эйлер сводил решение поставленной (по существу, вариационной) задачи к решению другой задачи: о нахождении экстремума функции многих переменных. При этом оставались пока недообоснованными некоторые положения. В частности, из-за отсутствия строго определенной операции варьирования функции кое-где происходили смешивания понятия «дифференциала» и понятия «вариации».

Каково же было удивление Эйлера, пользовавшегося известностью во многих странах Европы, когда в августе 1755 г. он получил письмо из Турина от мало кому известного исследователя, сумевшего восполнить пробелы в его собственных рассуждениях. Автором письма был Лагранж. Он предложил различие дифференциала от нового типа операций, вводя и новый символ для изменения ординат за счет перехода от одной кривой к смежной или сравнимой. Для главной части изменения функции за счет изменения ее аргумента (дифференциала) ой оставлял прежнее обозначение. Лагранж использовал введенное им свойство перестановочности обеих операций. Он формально распространял правила обычного дифференцирования и на операцию нового типа. Наиболее интересным в письме Лагранжа к Эйлеру было предложение вычислять вариацию методом интегрирования по частям (термин «вариация» был введен Эйлером значительно позже).

Эйлер был изумлен глубиной мысли Лагранжа и ответил ему в весьма доброжелательном тоне, признавшись, что после утомительных поисков решения этого вопроса он с удивлением увидел новое решение (решение Лагранжа), которое превосходит его собственный метод по простоте.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Результаты проведённых вычислений
Даламбер узнаёт об успехах Лагранжа
Заманчивое предложение в Берлине
Работа в Берлинской академии наук
Решение сложных уравнений
Материализм французских ученых конца XVIII в.
Влияние французских энциклопедистов
Изучение принципов динамики
Жозеф Луи Лагранж (содержание)