Скорость истечения воды из сосуда

Лагранж, следуя методу неопределенных множителей в статике, варьирует это уравнение и, умножая результат на множитель, прибавляет его к правой и левой части общей формулы статики.

При этом он поясняет, что интегрирование ведется по всей массе жидкости. Далее он дает детальную разработку вывода вариации объема элементарного параллелепипеда жидкости. Здесь впервые в истории механики появляются формулы для относительных удлинений.

Аналогичны деформации двух других углов. На это важное открытие Лагранжа впервые обратили внимание редакторы русского перевода первого тома «Аналитической механики» – Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье. Считают, что записанные формулы вывел О. Коши.

Лагранж преобразует соотношение, выражающее принцип виртуальных скоростей с учетом условного уравнения, к следующему выводу.

Интегрируя по частям, Лагранж приходит к трем уравнениям равновесия жидкости и выводит условия на свободной поверхности (или около стенок) в жидкости. Уравнения равновесия, справедливые в любой точке жидкой массы, имеют вид

Затем выясняется механический смысл неопределенного множителя: «...сила А, стремится сжать каждую частицу жидкости, таким образом, эта сила представляет собой не что иное, как давление, испытываемое равномерно со всех сторон частицей жидкости, которому она противодействует благодаря своей несжимаемости».

Лагранж отмечает, что те же результаты (иным методом) были получены в 1755 г. Л. Эйлером. Преимущество нового метода состоит в том, что в механике и гидромеханике найдена единая база (общая формула динамики и ее частный случай для статики), которая дает уравнения движения и равновесия любых механических систем.

Далее Лагранж переходит к рассмотрению важных конкретных проблем гидростатики и специальных ее разделов. Он доказывает, что если Земля представляет собой сфероид вращения, то океан должен иметь ту же форму. До Лагранжа этой задачей, поставленной еще Ньютоном, занимался Маклорен, который показал, что фигура равновесия тяжелой вращающейся жидкости – двухосный эллипсоид.

Лагранж рассматривает задачи о равновесии твердого тела, погруженного в жидкость, и о равновесии жидкости в некотором сосуде. Как в первом, так и во втором случае выясняется механический смысл неопределенного множителя: это – давление жидкости на твердую поверхность тела или стенки. Затем следует новая важная проблема – о равновесии сжимаемых упругих жидкостей. На этом изложение гидростатики в трактате «Аналитическая механика» Лагранжа заканчивается.

Во втором томе трактата, приступая к изложению гидродинамики на базе все того же единого метода, Лагранж, как обычно, сначала дает глубокий исторический анализ развития этой дисциплины. Он говорит, что гидродинамика представляет собой науку, возникшую только в XVIII в. До этого изучали лишь равновесие жидкостей. Эпизодически пытались и ранее, в XVII в., решать задачи о движении воды. Торричелли начал исследование движения воды, вытекающей из сосуда через малое отверстие в стенке. Он установил, опираясь на опытные данные, что скорость истечения воды из отверстия пропорциональна корню квадратному из высоты уровня жидкости над местом истечения. Ньютон сделал попытку теоретически доказать это предложение: «...следует, однако, признать, что данное место является наименее удовлетворительным во всем великом творении Ньютона», – считает Лагранж, трактуя это место как утверждение того, что скорость истечения воды из сосуда соответствует лишь половине высоты воды над отверстием, что расходилось и с выводом Торричелли, и с результатами опытов. Приближение расчетов второго издания «Начал» Ньютона к данным опыта, по мнению Лагранжа, не улучшило теоретического подхода автора. Несколько ранее второго издания «Начал» Ньютона Вариньон дал более правдоподобное объяснение рассматриваемого явления и пришел к результату Торричелли. Однако и в его рассуждениях Лагранж находит слабые пункты, в частности утверждение, что давление воды на площадку отверстия в дне сосуда равно весу столба жидкости над этой площадкой. Это верно для покоящейся жидкости, но неверно для жидкости движущейся. Поэтому теория Вариньона тем больше приближается к действительности, чем больше размеры сосуда по сравнению с отверстием истечения жидкости. Если же сосуд напоминает трубу переменного сечения, то теория Вариньона становится неправильной.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Загадка векового ускорения Луны
Жозеф Луи Лагранж (содержание)