Споры о произвольной функции

Через год Эйлер установил связь произвольной функции, входящей в общий интеграл уравнения колебания струны, с начальной формой струны и начальным распределением скоростей в ее точках. Между Даламбером и Эйлером возникла дискуссия о природе произвольных функций, входящих в интегралы уравнений в частных производных.

Сущность спора, в котором приняли участие многие видные математики XVIII в., сводилась к следующему. Понятие «произвольная функция» еще не было осмысленно и определено. Даламбер, в решение которого входила произвольная функция, вкладывал в понятие «произвольной» то, что его функция имеет произвольное аналитическое выражение (у него была нечетная периодическая функция). Эйлер понимал под произвольной функцией произвольно начерченную кривую. Что было более широким или более узким? Приведем фрагмент из одного яркого по форме и точного по содержанию описания этого исторического диалога:

«Эйлер. Конечно, произвольно начерченная кривая – более общее понятие, чем произвольное аналитическое выражение. Ведь всякое аналитическое выражение изображается какой-то кривой; а не всякая кривая может быть представлена аналитическим выражением. Например, произвольную кривую можно взять с уголками, а кривая, соответствующая аналитическому выражению, никогда не имеет уголков.

Даламбер. Это только видимость общности. Речь идет не о любых кривых, а о решениях уравнения, где фигурируют вторые производные. Прежде чем проверять, является ли ваша кривая решением, ее нужно записать аналитическим выражением – иначе как же вы будете дифференцировать? А кривая с уголками вообще не может служить решением уравнения с частными производными. Да и физически сила упругости в угловых точках должна быть бесконечной, что нелепо.

Эйлер. Моя кривая может состоять из нескольких дуг, отвечающих различным аналитическим выражениям.

Даламбер. Дуги кривых, отвечающих различным аналитическим выражениям, из которых будто бы может состоять решение, никогда нельзя сочленить сколько-нибудь гладким образом».

В спор вступил Д. Бернулли; он предложил общее решение уравнения, которое, как ему казалось, могло бы примирить взгляды спорящих. Его решение представляло собой бесконечный тригонометрический ряд по координате с неопределенными коэффициентами, зависящими от времени.

Подобно тому как звук, издаваемый струной, слагается из основного тона и бесконечного множества обертонов, любая функция и, следовательно, кривая может быть составлена с помощью дуг синусоид, «деформированных» коэффициентами.

«Но оба мэтра – и Даламбер, и Эйлер – с негодованием отвергли предложение Даниила Бернулли.

Далеко не всякое аналитическое выражение, сказал Даламбер, может быть представлено рядом. Сумма такого ряда обязана быть непрерывной и иметь непрерывную кривизну; а аналитическое выражение, не обязательно обладает такими свойствами.

Далеко не всякая кривая, сказал Эйлер, может быть представлена рядом. Кривая, которую я рисую, в каждой точке может пойти произвольно, а выражение, будучи написано, уже не допускает никакого произвола; в частности, с самого начала оно заведомо представляет нечетную и периодическую функцию».

Итак, вставал вопрос о выяснении объема класса функций, представимых тригонометрическими рядами. Этот вопрос стоял перед математиками вплоть до появления работ Ж. Б. Фурье в XIX в.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Струны и произвольные колебания
Решение задачи молодым математиком
Результаты проведённых вычислений
Даламбер узнаёт об успехах Лагранжа
Заманчивое предложение в Берлине
Работа в Берлинской академии наук
Решение сложных уравнений
Материализм французских ученых конца XVIII в.
Жозеф Луи Лагранж (содержание)