Струны и произвольные колебания

Молодой и малоизвестный Лагранж в 1759 г. дал новое оригинальное решение проблемы колебания струны, опубликовав его в первых томах «Туринских записок». Вопрос о колебании струны повторно разобран в трактате, явившемся итогом важнейших научных достижений Лагранжа, – «Аналитическая механика» (1788). Лагранж пришел к выводу: «Формулы, дающие движение натянутой струны, нагруженной неопределенным числом равных тел, не вызывают никаких затруднений, поскольку движение каждого тела определяется частным уравнением; ясно, что если эти же формулы можно применить к движению струны постоянной плотности, допуская, что число тел бесконечно велико, а их взаимные расстояния бесконечно малы, то закон, который отсюда получится для колебаний струны, будет совершенно независим от ее первоначального состояния; и если этот закон окажется тем же, какой получается из рассмотрения произвольных функций, то тем самым будет доказано, что эти функции могут быть любого вида, непрерывного или прерывного, лишь только они представляли начальное состояние струны. Этим именно путем я в первом томе «Memoires de Tourin» доказал правильность построения Эйлера, которое до тех пор еще не было достаточно обосновано. Примененный мною там анализ, за исключением некоторых упрощений, которые я ввел с тех пор, совершенно подобен тому, какой я дал сейчас; я полагал, что его следует привести и в настоящей работе, так как он прямо приводит к строгому разрешению одного из наиболее интересных вопросов механики».

Лагранж был согласен с Эйлером относительно природы произвольных функций. Вопреки твердому мнению Даламбера, что функция, заданная аналитически, не всегда может быть изображена тригонометрическим рядом, Лагранж верил, что можно доказать представимость любой функции тригонометрическим рядом. Примерно через пол столетия один из учеников Лагранжа – Ж. Б. Фурье – пытался это доказать.

Весьма убедительно, чисто аналитическими методами Лагранж пришел к такому же, как у Бернулли, решению проблемы колебания струны. Но в то время как коэффициенты ряда Бернулли предполагались неопределенными величинами, неизвестно как связанными с начальным состоянием струны, Лагранж сумел установить зависимость этих коэффициентов от параметров начального состояния струны. В общем, Лагранж подтвердил, укрепил и расширил метод Бернулли, увязав его решение с решением Даламбера.

Биограф Лагранжа, его младший современник и коллега Деламбр писал об этих ранних исследованиях Лагранжа: «Этот дебют был изумителен, когда совсем еще молодой человек вмешивается в тему трактатов Ньютона, Тейлора, Бернулли, Даламбера и Эйлера и выступает внезапно среди этих великих геометров не только как им равный, но как арбитр между ними, который, чтобы прекратить трудную борьбу, указывает каждому из них, в чем он прав и в чем ошибается, исправляет эти ошибки и дает истинное решение, которое хотя и было предугадано, но не могло быть получено».

Выдающийся русский механик академик А. Н. Крылов также высказал восхищение этим ранним произведением молодого Лагранжа, его обширностью и глубиной «совершенно оригинального исследования и по существу вопроса... и по новизне и изяществу математических методов, примененных для его решения».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Решение задачи молодым математиком
Результаты проведённых вычислений
Даламбер узнаёт об успехах Лагранжа
Заманчивое предложение в Берлине
Работа в Берлинской академии наук
Решение сложных уравнений
Материализм французских ученых конца XVIII в.
Влияние французских энциклопедистов
Жозеф Луи Лагранж (содержание)