Теория аналитических функций

Со времени Ньютона до второй половины XVIII в. функции представляли степенными рядами, так как иначе оперировать с ними было трудно. Многие ученые считали, что любое аналитическое выражение можно разложить в степенной ряд. Лагранж наиболее четко выразил эту точку зрения в двух обширных сочинениях: «Теория аналитических функций (1797) и «Лекции об исчислении функций» (1801). Он считал аналитическими функциями те, которые представимы степенными рядами, что не соответствует современному значению этого термина.

Ньютон применял разложение в ряды алгебраических функций, используя биномиальную формулу для целого, дробного и отрицательного показателя. Продолжали и развивали методы Ньютона разложения функций в ряды в первой половине XVIII в. Тейлор и Маклорен. Эйлер и Даламбер широко использовали разложимость функции в степенные ряды, придавая этому свойству большое значение. Но они не нашли договоренности о соотношении объемов классов аналитических и аналитически выразимых функций. Эйлер считал их равносильными: всякое аналитическое выражение можно представить в виде ряда. К этому мнению присоединилось большинство математиков XVIII в.

Именно так следует воспринимать название трактата Лагранжа «Теория аналитических функций, содержащая принципы дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых или умаляющихся, пределов или флюксий и сведенные к алгебраическому анализу конечных количеств» (далее это название приводится сокращенно).

Во «Введении» к трактату ставится следующая задача: «Целью этого труда является: дать теорию функций, рассматриваемых как первоначальные (примитивные) и производные; разрешить с помощью этой теории главные проблемы анализа, геометрии и механики, которые ставят их в зависимость от дифференциального исчисления; при этом дать решению этих проблем более строгие доказательства по сравнению с прежними».

Такими словами заканчивается «Введение» к работе «Теория аналитических функций...», а начинается оно с определения понятия функции: «Функцией одного или нескольких количеств называют всякое вычислительное выражение, в которое эти количества входят каким-либо образом, совместно или раздельно, и которые рассматривают как значения задаваемые или независимые, в то время как количества функции могут получать все возможные значения».

Для сравнения приведем другое определение функции той же эпохи. Младший коллега Лагранжа Лакруа, слушавший лекции по теории аналитических функций Лагранжа в 1810 г., так определял функцию: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или нескольких других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, знаем мы или не знаем, через какие операции нужно пройти, чтобы перейти от этих последних к первой».

Близкая по смыслу, но более общая и более четкая формулировка Лакруа представляет собой дальнейшее развитие понятия функции, определенного Лагранжем.

Функцию одного переменного Лагранж обозначает символом f(x), через он обозначает приращение аргумента. После этого, ссылаясь на теорию рядов, Лагранж записывает для функции f(x + i) разложение в степенной ряд.

Лагранж пытается доказать априорно допускаемое его предшественниками предположение о том, что записанный ряд содержит только целые и положительные степени приращения аргумента. Он указывает на те немногие известные ему случаи, когда для определенных значений х сама функция или ее производные (входящие в коэффициенты разложения) обращаются в бесконечность. Лагранж поясняет, что дифференциальное исчисление строится на исключении таких значений аргумента.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Достижения в области механики и решении задач
Система движения в изучении механики
Жозеф Луи Лагранж (содержание)