Теория малых колебаний

Важной проблемой исчисления бесконечно малых в XVIII в. было вычисление дифференциалов как некоторых величин, заменяющих истинные приращения функции с точностью до малых высшего порядка. Эта чисто математическая проблема граничила с техническими задачами теории малых колебаний, поскольку включала в себя теорию качки корабля около центра масс, теорию прецессии и нутации Земли, теорию колебания нематериальной струны с несколькими нанизанными материальными точками, теорию малых колебаний математического, а затем и физического маятника.

Одним из важных этапов в построении аналитической теории малых колебаний консервативной системы около положения равновесия послужил фундаментальный двухтомный труд JI. Эйлера «Корабельная наука», изданный в 1749 г. в Петербурге. Эйлер создал этот трактат, получив заказ от Петербургской академии наук разработать теорию устойчивости корабля.

В первом томе Эйлер развивает общую абстрактную теорию устойчивости малых колебаний плавающего тела, а во втором – разрабатывает приложение этой общей теории к конкретному случаю плавающего корабля с заданными формами и распределением масс. Он предлагает способ расчета моментов восстанавливающих сил и фактически дает аналитическую разработку методики, идущей от трудов Архимеда и Стевина. Не ограничиваясь рассмотрением задачи в аспекте теории статической устойчивости, Эйлер развивает основы теории малых колебаний простого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного тела. Он приходит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

Даламбер продолжил развитие теории малых колебаний для различных конкретных приложений: для случая малых колебаний маятников (простых и составных), для случая плавающих тел, для колебаний твердого тела около неподвижной точки или около центра инерции, для колебаний материальной точки на пружине и пр. Однако общей теории малых колебаний Даламбер не создал.

Лагранж встретился с проблемами аналогичной природы в задаче о колебании струны. Он рассматривал струну как невесомую, несущую одну, затем множество, потом бесконечно много материальных точек. Позже в задачах о вековых возмущениях элементов планетных орбит в связи с проблемой устойчивости планетной системы он снова встретился с такой же задачей. К 1788 г. Лагранж наметил основные пути построения общей теории малых колебаний около положения равновесия консервативной системы с независящими от времени условиями. Эта теория вошла в первый том «Аналитической механики» (1788). При переработке трактата и подготовке его ко второму изданию Лагранж существенно дополнил эту теорию.

Теория малых колебаний Лагранжа тесно связана с теорией устойчивости положения равновесия в первом приближении. В этой теории в дифференциальных уравнениях возмущенного (или колебательного) движения удерживаются только первые линейные члены. В результате получается система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему дифференциальных уравнений Лагранж преобразует к другой, эквивалентной системе, выражая прежние координаты через новые независимые переменные (позже новые аргументы стали называть нормальными координатами). Новая система уравнений получается расщеплением прежней системы на совокупность уравнений, каждое из которых содержит только одну нормальную координату и является уравнением свободных гармонических колебаний, описываемых синусоидальной зависимостью во времени.

Общее решение в первоначальных координатах строится как линейная комбинация частных решений, одно из которых было выписано выше. Алгебраическое уравнение (типа векового уравнения), корнями которого были бы квадраты нормальных частот, явно не выписано Лагранжем, но способ его составления указан.

И здесь Лагранж вводит некоторую форму нормально- частотного критерия устойчивости, лишь упомянутую, но по сформулированную ранее Даламбером. «Так как приведенное выше решение основано на допущении, что переменные представляют собой очень малые величины, то для того, чтобы это решение было законным, требуется, чтобы указанное допущение фактически осуществлялось; а это требует, чтобы время, возрастающее до бесконечности, всегда находилось под знаком синуса или косинуса. Если бы некоторые из этих корней были отрицательными или мнимыми, то вместо соответствующих синусов или косинусов они ввели бы вещественные экспоненциальные величины, а если бы они были просто равны между собою, то ввели бы алгебраические степени дуги; ...так как изложение этих случаев не представляет интереса для рассматриваемого нами вопроса, то мы на нем не будем останавливаться».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Жозеф Луи Лагранж (содержание)