Теория малых колебаний в работе Лагранжа

Задерживая внимание лишь на случае вещественных положительных неравных квадратов частот. Лагранж еще раз указывает на возможность тригонометрического представления решения уравнений. Отсюда вытекает утверждение о том, что наибольшее значение истинных координат относительно положения равновесия не будет превосходить по модулю суммы амплитуд нормальных колебаний, зависящих лишь от постоянных начальных условий. Фактически речь идет об устойчивом состоянии равновесия системы. Если соотношение, напоминающее вековое уравнение, имеет кратные корни, то в решении системы дифференциальных уравнений возмущенного движения появляются члены, содержащие множитель времени перед синусом или косинусом некоторых функций времени (умноженного на частоты колебаний). Таким образом, из-за неограниченного возрастания коэффициентов при периодических членах тригонометрического представления искомой функции ее величина также возрастает неограниченно. Именно это означало, по мнению Даламбера и Лагранжа, неустойчивость малых колебаний системы. Авторитет Даламбера и Лагранжа, а вслед за ними и Лапласа с Пуассоном, присоединившихся к такому утверждению, обусловили живучесть этого некорректного воззрения на протяжении столетия.

Лишь в 1858 – 1859 гг. берлинский академик Вейерштрасс и петербургский академик И. И. Сомов почти одновременно и независимо друг от друга различными методами доказали ошибочность приведенного выше утверждения. Мемуар И. И. Сомова, в котором дано верное разрешение парадокса Даламбера – Лагранжа, называется «Об алгебраическом уравнении, с помощью которого определяются малые колебания системы материальных точек». Во вводной части автор говорит: «В мемуаре, который я имею честь представить Академии, я показываю с помощью примеров, что уравнение, о котором идет речь, может иметь кратные корни, но что это никоим образом не влечет за собой необходимости, чтобы время имелось вне знака синуса или косинуса в общих интегралах уравнений движения. Далее я даю доказательства вещественности корней уравнения, рассматриваемого во всей своей общности. Наконец, я показываю, как должно образовывать общие интегралы уравнение движения в случае равных корней, и выясняю, почему время не фигурирует вне знаков синуса или косинуса».

Это важное открытие Вейерштрасса и Сомова прошло незамеченным в современной им научной литературе. Девятнадцать лет спустя английский ученый Payсс вновь разобрал эту проблему как совершенно новую. Раусс вместе с Пуанкаре в конце XIX в. завершили развитие теории малых колебаний и их устойчивости по первому приближению.

Что касается влияния лагранжевых методов исследования устойчивости состояния равновесия консервативной системы со стационарными связями на дальнейшее развитие этой теории, то здесь следует отметить еще одну характерную черту мышления Лагранжа. Он настойчиво искал и наметил признаки распознания того, все ли корни соотношения типа векового уравнения вещественны, какого они знака и нет ли среди них кратных корней. Лагранж разработал своеобразный энергетический критерий устойчивости (позже доведенный до полной корректности в трудах П. Г. Лежен-Дирихле и А. М. Ляпунова). Этот критерий основан на рассмотрении поведения знакоопределенной функции в окрестности ее нулевого значения, т. е. в положении равновесия. Функция, введенная Лагранжем, как уже говорилось, на современном языке соответствует потенциальной энергии консервативной системы. При некоторых упрощениях Лагранж доказал, что изолированный минимум этой функции в положении равновесия системы означает устойчивость малых колебаний около положения равновесия.

В целом теория малых колебаний Лагранжа и отдельные его методы с некоторыми усовершенствованиями, введенными другими учеными в конце XIX в., употребляются в большинстве проблем аналитической динамики до нашего времени.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Жозеф Луи Лагранж (содержание)