Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа

Интересен один из частных случаев, рассмотренных Лагранжем: расстояния между тремя телами остаются постоянными или же сохраняют постоянные отношения во все время движения. Он довел решение этого случая до конца, рассмотрев два подслучая. К концу XIX в. Было обнаружено, что астероиды юпитеровой группы занимают положения, приблизительно соответствующие решению Лагранжа. Они образуют почти равносторонний треугольник с Солнцем и Юпитером. Решения Лагранжа сразу показались весьма интересными и содержательными.

Наибольшее количество работ в области небесной механики Лагранж посвятил теории возмущений. Эти работы тесно переплетались с исследованиями другого великого механика той эпохи – Лапласа.

Первым исследованием Лагранжа, имеющим отношение к теории возмущений, была работа о неравенствах в движении спутников Юпитера, удостоенная премии Парижской академии наук в 1766 г. Эйлер писал об этом достижении молодого Лагранжа астроному Байи из Берлина в Париж: «Иррациональная формула, выражающая расстояние Юпитера от Сатурна, не может быть представлена достаточно сходящимся рядом, и в этом состоит самое большое препятствие. Я сильно сомневаюсь, чтобы его можно было успешно преодолеть... Сейчас мне тем более интересно знать, каким образом г. Лагранж преодолел те же трудности в своей работе, получившей премию, и так как я не имею оснований сомневаться в успешности его решений, то можно льстить себя надеждой, что теоретическая астрономия в настоящее время доведена до наивысшей степени совершенства».

В этом письме от 15 сентября 1766 г. Эйлер просит Байи прислать ему премированный труд Лагранжа, а также ранее премированную работу о либрации Луны.

Все исследователи научного наследия Лагранжа отмечают одну важнейшую идею, дающую ключ для решения проблемы взаимодействия трех тел, когда массы двух из них малы по сравнению с массой центрального тела (Солнца). Эта идея навеяна самой природой задачи: движение планеты мало отличается от невозмущенного вторым малым телом эллиптического движения. Вторая планета оказывает возмущающее действие на поведение первой планеты, движение которой как бы происходит по непрерывно изменяющемуся эллипсу. Такова идея метода вариации произвольных постоянных, мастерски разработанного Лагранжем. Последовательный путь размышлений ученого можно приблизительно проследить.

Глубоко изучая труды классиков науки, и в частности трактат Ньютона «Математические начала натуральной философии», Лагранж проникал в недосказанные и лишь намеченные методы, понимал их эффективность для данного круга задач. «В настоящее время после исследований Адамса и академика А. Н. Крылова можно считать установленным, что за теми геометрическими методами, которыми пользуется Ньютон, скрывается гораздо более глубокое проникновение в проблемы небесной механики, чем-то, которое дано непосредственно на страницах «Начал». Вся теория вариации произвольных постоянных эллиптического движения и те уравнения, которые были даны впоследствии Лагранжем, по-видимому, были предвосхищены Ньютоном и применены им к решению проблем лунной теории».

Естественно, у Ньютона проводилось только качественное изучение возмущенного движения Луны при возмущающем действии Солнца. В явном виде даже идеи метода вариации произвольных постоянных здесь еще не было. Идея варьирования четырех из шести произвольных постоянных элементов орбиты впервые была использована Эйлером при исследовании движения планет. Однако из-за некоторых неточностей в выкладках Эйлер не удовлетворился результатами и перестал заниматься разработкой этого метода. Выводы Эйлера Лагранж исправил, варьируя, как и Эйлер, только четыре элемента орбиты. В 1778 г. при исследовании возмущенного планетами движения комет Лагранж составил строгие дифференциальные уравнения, определяющие изменение шести элементов орбиты. Незадолго до смерти при подготовке к переизданию трактата «Аналитическая механика» он еще усовершенствовал и обобщил метод вариации произвольных постоянных. Здесь немаловажную роль сыграло использование так называемой пертурбационной функции – силовой функции возмущающего поля сил и так называемых скобок Лагранжа. Во втором издании «Аналитической механики» этот метод определения возмущений появился в виде общего приближенного метода для решения всех механических задач, когда среди сил, действующих на систему, имеются такие, величина которых незначительна по сравнению с главными силами.

Советский астроном и механик Н. Д. Моисеев дает такую оценку этого общего метода Лагранжа: «В дальнейшем же он не только дал совершенно полные и строгие системы названных уравнений, сделавшиеся с той поры основными для аналитической небесной механики, но и развил общую теорию вариации произвольных постоянных в задачах механики, по отношению к которой предыдущие его труды в частной области небесной механики оказались лишь разработкой частных случаев».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Загадка векового ускорения Луны
Работа Лагранжа «О форме колонн»
Проблемы математического анализа
Вариационное исчисление
Экстремум интеграла для вычисления кривой
Вариации на тему интеграла
Жозеф Луи Лагранж (содержание)