Труды по теории вековых возмущений планет

Большой цикл работ Лагранжа относился к теории вековых возмущений планет. Работая в Берлине, Лагранж в 1774 г. послал свой мемуар в Парижскую академию наук. В это время там блистал Лаплас, молодой ученик Даламбера. Основное внимание Лаплас уделял небесной механике. Ему, как отмечалось выше, стал известен мемуар Лагранжа, где некоторые величины были выражены через элементы орбиты (через наклонение орбиты планеты к эклиптике и положение узла) и были представлены в виде бесконечных тригонометрических рядов по времени. Лаплас немедленно взял «на вооружение» метод Лагранжа, удачно преобразовав его для изучения форм планетных орбит. При этом он рассматривал разложение элементов орбит по степеням времени. Получилось так, что труд Лапласа появился раньше, чем использованный им мемуар Лагранжа. Лаплас говорил, что он давно хотел проинтегрировать дифференциальные уравнения для вековых неравенств в движении планет, но на этом пути были большие трудности. «Я не взялся бы за это дело, если бы не прочитал превосходную работу г. Лагранжа, присланную в академию и имеющую появиться в следующих томах».

В работах 1774 г. Лагранж исследовал вековые изменения элементов орбиты, представляя некоторые функции возмущений элементов орбиты (наклонности и долготы узла) в тригонометрической форме, которая использовалась позже в работах Гюльдена, Баклунда и др. Видоизмененный Лапласом метод Лагранжа, представляющий вековые возмущения в виде разложения по степеням времени, был удобен для оценки возмущений с любой степенью точности. Этот метод нашел свое развитие в работах Леверрье и Ньюкома при создании таблиц движения больших планет.

Лагранж вывел из дифференциальных уравнений вековых возмущений замечательное интегральное соотношение, в котором некоторая знакоопределенная положительная квадратичная функция возмущений эксцентриситета и долготы перигелия остается все время постоянной. Этот интеграл используется Лагранжем для утверждения устойчивости невозмущенного состояния планетной системы.

«Из этого уравнения видно, что эксцентриситеты обязательно имеют пределы, которые они не могут превзойти; в самом деле, так как они необходимо вещественны, поскольку орбиты представляют собою конические сечения, то каждый член, всегда положителен и его максимумом будет постоянная.

Отсюда следует, что если эксцентриситеты орбит, принадлежащих очень большим массам, в какой-либо момент очень малы, то они останутся всегда такими же, что имеет место в случае Юпитера и Сатурна; однако эксцентриситеты орбит, принадлежащих очень малым массам, могут возрасти до единицы и выше, и их действительные пределы, как мы это увидим ниже, могут быть установлены лишь путем интегрирования дифференциальных уравнений».

Заметим, что упомянутое интегральное соотношение, инвариантное во времени, было получено Лагранжем без полной интеграции дифференциальных уравнений возмущенного движения планет. Вслед за суждением об устойчивости в отношении эксцентриситетов планет Лагранж приводит аналогичное суждение в отношении наклонности и долготы восходящего узла орбиты.

«Эта теорема была найдена эмпирически Лапласом. Лаплас безуспешно пытался дать доказательство в общем виде, и тем эффективнее был результат Лагранжа, доказавшего эту теорему, по выражению Якоби, одним штрихом пера (1776). Такой успех явился прямым следствием введения в теорию возмущений пертурбационной функции».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Загадка векового ускорения Луны
Работа Лагранжа «О форме колонн»
Проблемы математического анализа
Вариационное исчисление
Экстремум интеграла для вычисления кривой
Вариации на тему интеграла
Решение сложных математических задач
Теория аналитических функций
Жозеф Луи Лагранж (содержание)