Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа

После выбора осей координат по методу Эйлера так, чтобы центробежные моменты инерции тела относительно этих осей были нулями, Лагранж получает уравнения вращательного движения твердого тела, которые принято называть эйлеровыми динамическими уравнениями. Лагранж упоминает свою раннюю работу, где он уже пользовался этими уравнениями, а также воздает должное Эйлеру за доказательство существования главных осей инерции: «Эйлер впервые доказал, что это всегда возможно, какова бы ни была форма тела, и что определенные таким образом оси являются естественными осями вращения, т. е. такими осями, что тело может свободно вращаться вокруг каждой из них».

Итак, уравнения движения в форме Эйлера для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, совпадающей с центром тяжести тела, записываются Лагранжем.

Указав, что исследованием этого важного случая занимались Даламбер и Эйлер, Лагранж излагает их результаты, доводя решение уравнений до квадратур. Затем он переходит к постановке задачи для второго фундаментального случая вращения твердого тела (получившего впоследствии имя Лагранжа), когда точка опоры или подвеса не совпадает с центром тяжести. Лагранж вводит упрощающие предположения о динамической симметрии тела и о расположении точки опоры на оси симметрии. Тогда из третьего уравнения движения он получает интеграл, носящий теперь его имя.

Сама постановка задачи и нахождение нового алгебраического интеграла, представляли важное открытие в области аналитической механики. Кроме того, Лагранж раскрыл механический смысл последнего интеграла, означающего постоянство угловой скорости вращения эллипсоида инерции около гироскопической оси. Затем он пошел еще дальше – наметил путь интегрирования двух первых уравнений движения, доведя вычисления до квадратур в эллиптических функциях. Как частный случай, он рассматривает условия, при которых ось тела совершает очень малые колебания (они могут быть коническими) около вертикальной линии, когда само тело вращается около собственной оси. Эти исследования Лагранж не закончил, фрагменты других его вычислений в той же области помещены в конце второго тома под рубрикой «Из черновых записей Ж. Лагранжа».

Интересно отметить, что та же задача о движении тяжелого симметричного твердого тела была в 1811 г. разрешена Пуассоном как совершенно новая. Решение (которое он дал, не упоминая при этом Лагранжа) было опубликовано в 1815 г. Якоби в середине XIX в. выразил решение этой задачи в тэта-функциях. Большой знаток теории эллиптических функций академик Петербургской академии наук И. И. Сомов в работе «Доказательство формул Якоби, относящихся к теории вращения твердого тела» в 1851 г. довел решение задачи до конца.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Жозеф Луи Лагранж (содержание)