Вариации на тему интеграла

Вторая статья Лагранжа была опубликована в том же томе и была ее продолжением. Называлась она «Приложение метода, изложенного в предыдущем мемуаре для решения различных задач динамики». Здесь Лагранж дает новую аналитическую форму принципа наименьшего действия. Он обобщает принцип в форме Эйлера на случай системы материальных точек и приводит «действие» к выражению системы. Тем самым круг задач механики, разрешимых с помощью принципа наименьшего действия, существенно расширяется.

Лагранж рассматривает задачу о движении тела под действием сил притяжения к нескольким неподвижным центрам, когда эти силы зависят от расстояния тела от центра. Затем он решает общую задачу о движении несжимаемой жидкости (называя ее неупругой) под действием некоторых сил. В качестве частного случая Лагранж рассматривает задачу о равновесии свободной жидкой массы, ранее поставленную Клеро, решает задачу о движении несжимаемой жидкости, ограниченной произвольными гладкими стенками. Затем следуют задачи о движении сжимаемой жидкости в поле произвольных сил и о движении нити.

При решении конкретных задач механики Лагранж снова рассматривает кратные интегралы, экстремумы которых определяются не для экстремальных кривых, а для поверхностей.

Эйлер сделал очень много для того, чтобы подчеркнуть существенные заслуги Лагранжа в создании новой отрасли математики – вариационного анализа. Дав молодому ученому возможность опубликовать свои достижения, Эйлер задержал на несколько лет публикацию своих результатов в той же области, а когда опубликовал свой переработанный метод, изложив его, как и Лагранж, в аналитической форме, он снова указал во введении на заслуги Лагранжа: «После того, как я долго и бесплодно трудился над решением этого вопроса, я с удивлением увидел, что в «Туринских записках» задача эта решена столь же легко, как и счастливо. Это прекрасное открытие вызвало у меня тем большее восхищение, что оно значительно отличается от данных мною методов и значительно их превосходит по своей простоте».

Действия Эйлера были весьма своевременны: мемуары Лагранжа вызывали сомнения и непонимание, о чем писали Фонтен и Борда. Несколько позже об этом же писал А. Крелль в примечаниях к немецкому переводу курса лекций Лагранжа «Лекции об исчислении функций».

Основные неясности возникали из-за утверждения Лагранжа, что функция г/(ж), обеспечивающая экстремум интегралу I, изменяется по правилам обычного дифференцирования, хотя это изменение следует выделить особым символом.

Эйлер ответил на все эти вопросы и сомнения, разъяснил сущность нового вариационного исчисления, дал ему название и разработал множество приложений метода.

«Исчисление вариаций, – писал Эйлер, – качественно новое, отличное от дифференциального исчисления...». И далее: «А кривые, бесконечно мало отлучающиеся от искомой, удобнее всего рассматривать как получающиеся при увеличении или уменьшении ординат отдельных точек искомой кривой на бесконечно малые значения, т. е. при вариации ординат. Обыкновенно достаточно осуществить такую вариацию для одной-единственной ординаты, но ничто не мешает приписать такие вариации нескольким или всем ординатам, поскольку всегда должны прийти к одному и тому же решению. Но при этом не только в большей степени выявляется сила метода, но получаются также более полные решения вопросов такого рода...».

Порядок оперирования вариациями очень близок к правилам дифференцирования; у них много общего, а самая главная аналогия в том, что в обоих случаях к переменным прибавляются бесконечно малые приращения. Но нельзя забывать и существенную разницу между обоими исчислениями: «...когда речь идет о кривой, которая сравнивается с очень близкой к ней, то при помощи дифференциалов мы переходим от одной точки кривой к другим точкам той же кривой, в то время как, если перейти от этой кривой к другой, ей очень близкой и если этот переход является бесконечно малым, то он осуществляется при помощи вариаций...».

Таким образом, Эйлер разъяснил непонятные утверждения «дифференциального исчисления» Лагранжа, оперирующего символом. Вариации величин – б у обозначают не что иное, как бесконечно малые приращения величин у за счет перехода от одной кривой к другой, бесконечно близкой.

Многое встало на свои места и в прежнем методе Эйлера: так называемое дифференциальное значение интеграла уступило место вариации интеграла.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Решение сложных математических задач
Теория аналитических функций
Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Работы по алгебре в деятельности Лагранжа
Основные результаты по теории чисел
Жозеф Луи Лагранж (содержание)