Вариационное исчисление

Научная революция XVII в. открыла свободный путь развитию разнообразных отраслей точного естествознания. Мысль ученых все дерзновеннее проникала в тайны природы, переводя на язык математики сложные взаимосвязи различных явлений окружающего нас мира (стали говорить, например, что луч света избирает кратчайший путь между двумя точками, и т. д. Этот факт записывался с помощью математической символики, сначала малосовершенной, затем все более специфической, все более четкой).

Изучая движение тел в жидкости, сопротивление которой считалось пропорциональным квадрату скорости, Ньютон решил одну из первых вариационных задач. Это была задача о нахождении кривой линии, при вращении которой вокруг некоторой фиксированной оси образовывалась бы поверхность, испытывающая наименьшее сопротивление при движении тела в жидкости в направлении оси вращения. Академик А. Н. Крылов, сделавший не только прекрасный русский перевод «Начал» Ньютона, но и давший содержательные комментарии к трем книгам этого обширнейшего трактата, отмечал, что, по существу, Ньютон решил первую вариационную задачу механики. Поскольку решения ее Ньютон не привел, А. Н. Крылов в развернутом подстрочном примечании дает предполагаемое решение задачи в духе времени Ньютона.

Одну из вариационных задач поставил И. Бернулли (1667 – 1748) – представитель семьи талантливых математиков и механиков. Это была задача о брахистохроне – кривой наискорейшего спуска тяжелой точки.

Бернулли объявил конкурс на тему о нахождении кривой, по которой несвободное падение тяжелой точки совершается за минимальное время.

На конкурс было подано три решения, принадлежащие Лопиталю, Я. Бернулли и Ньютону. Последнее решение было подано без подписи, но И. Бернулли, по его выражению, узнал в авторе Ньютона, как льва узнают по его когтям. Позже Бернулли опубликовал и свое решение задачи о брахистохроне.

В геометрии к тому времени появились задачи об отыскании кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь. Позже эти задачи составили широкий класс изопериметрических задач об отыскании такой кривой заданной длины, для которой некоторая величина, зависящая от вида кривой, достигает экстремума.

Двадцатилетний JI. Эйлер, ученик И. Бернулли, уже в 1730-х годах занимался исследованием и решением изопериметрических задач. Посвятив несколько работ решению вопросов подобного рода, Эйлер в 1744 г. опубликовал трактат, который в дальнейшем мы будем коротко называть «Метод...». В этом сочинении собраны все прежние результаты Эйлера, относящиеся к изопериметрическим задачам, и дан так называемый прямой метод нахождения кривых, обеспечивающих экстремум неопределенного интеграла некоторого вида.

Таким методом Эйлеру удалось решить несколько конкретных задач механики и математического анализа. Этот метод эффективен лишь в достаточно простых случаях, когда функция зависит только от одной функции, от ее производных и от аргумента. Эйлер понимал, что в более сложных случаях этот метод непригоден. Он решал задачи гидромеханики, механики гибких и упругих тел, опираясь на существенно переработанный им принцип наименьшего действия Мопертюи. При этом Эйлер искал способ усовершенствовать общий метод отыскания алгоритма, приводящего к записи условий экстремума интеграла для некоторой кривой у (х), от которой зависит значение этого интеграла. Он подошел вплотную к отысканию такого алгоритма уже в середине XVIII в.

В трактате «Метод...» Эйлер исходил из рассмотрения «дифференциального значения» интеграла I. Это было не что иное, как конечная разность значений этого интеграла для двух смежных значений всех переменных, от которых зависит подынтегральная функция.

Опираясь на теорему (доказательство которой было не очень строгим) об обращении в нуль «дифференциального значения» интеграла I на искомой кривой.

Записанное без доказательства, это соотношение позволило Эйлеру вывести искомое условие экстремальности интеграла на кривой. Сейчас его называют уравнением Эйлера.

Но сам Эйлер не чувствовал полного удовлетворения от такого обоснования метода. По существу, здесь смешивались два вида «дифференциалов», разницу между которыми Эйлер понимал, но не всегда четко проводил.

12 августа 1755 г. он неожиданно получил письмо от 19-летнего туринца Жозефа Луи Лагранжа, который здесь же, в письме, заполнил основные пробелы в рассуждениях Эйлера.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Экстремум интеграла для вычисления кривой
Вариации на тему интеграла
Решение сложных математических задач
Теория аналитических функций
Особенности теории аналитических функций
Алгебра есть теория функций
Решение уравнений низкой степени
Нахождение корней уравнения
Жозеф Луи Лагранж (содержание)