Вклад Лагранжа в развитие механики

Доказав, что при равновесии системы необходимо имеет место равенство, Лагранж доказывает и достаточность этого равенства для равновесия системы. Впервые это доказательство было им опубликовано в пятой тетради «Журнала Политехнической школы» в 1798 г., после этого оно было включено во второе издание «Аналитической механики». В той же тетради «Журнала» были помещены обширные доказательства принципа виртуальных скоростей Прони и Фурье.

«Обыкновенно упрекают это доказательство, – писал Кирпичев, – в недостатке строгости и даже иногда называют рассуждения Лагранжа не доказательством, а иллюстрацией начала возможных перемещений. Но даже и противники рассуждений Лагранжа признают гениальность его соображений, находят их очень полезными для выяснения начала... Но предоставим лицам, возражающим против него, считать рассуждения Лагранжа не доказательством, а постулатом. По крайней мере, нужно сознаться, что это – постулат естественный и легко приемлемый». «Я считаю это доказательство, – заключает Кирпичев, – наилучшим и наиболее убедительным из всех предложенных доказательств начала возможных перемещений».

Мнение, близкое к этому, высказывал и А. Н. Крылов: «Доказательство Лагранжа по своей простоте и наглядности представляется всякому технику и инженеру вполне ясным и убедительным, и все они это доказательство, занимающее две страницы, знают. Математики считают это доказательство не строгим, а значит, и не убедительным, и предпочитают доказательство Фурье, занимающее 40 страниц».

Все свойства равновесия сил и все формы уравнений равновесия твердого тела под действием сил Лагранж получает, выводя их из общей формулы статики. Таким образом, основная цель – сведение теории механики к простому развитию самых общих формул – в области статики была достигнута.

«Получив эту общую формулу, – писал А. Н. Крылов, – Лагранж с искусством, едва ли не ему одному присущим и, может быть, доселе непревзойденным, развивает из этой формулы общие свойства равновесия сил и дает решение главнейших задач статики...».

Следует остановиться на теореме Лагранжа, которую он называл «свойства равновесия, относящиеся к максимуму и минимуму» (отдел III). Здесь Лагранж рассматривает важный случай, при котором левая часть его общей формулы статики оказывается полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат системы. В современной терминологии, с учетом правила знаков перемещений Лагранжа, эта функция есть не что иное, как потенциальная энергия системы. Условие равновесия системы, обладающей такой функцией, сводится к равенству нулю ее полного дифференциала. Следовательно, для систем рассматриваемого типа состояния равновесия совпадают с положениями, в которых функция имеет максимум или минимум. Лагранж показывает, что положение равновесия, соответствующее минимуму функции – устойчивое, а положение равновесия, соответствующее максимуму функции – неустойчивое. Формулировка этой важной теоремы явилась значительным вкладом в развитие теории равновесия системы и механики в целом. Доказательство теоремы страдало некоторыми неточностями, которые позже были устранены Лежен-Дирихле.

Другой существенно новый и совершенно оригинальный вклад Лагранжа в развитие механики – это его знаменитый метод неопределенных множителей, введенный им сначала в статике, а затем и в динамике.

Лагранж рассматривает совокупность произвольных сил, приложенных к точкам механической системы, подчиненной определенному условию:

Таких условных уравнений может быть несколько... «Они вытекают из природы системы», – говорит Лагранж.

Первая вариация части условного уравнения или тоже равна нулю, получается соотношение между вариациями координат (виртуальными перемещениями).

Лагранж говорит об этих силах: «Вообще можно рассматривать как момент некоторой силы стремящейся вызвать изменения значения функции... Отсюда следует, что каждое условное уравнение эквивалентно одной или нескольким силам, приложенным к системе по заданным направлениям, или вообще стремящимся вызвать изменение значений заданных функций... И обратно, эти силы могут занять место условных уравнений, вытекающих из природы заданной системы; таким образом, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям... в этом и заключается идея метода, излагаемого в настоящем отделе».

В этих строках трактата Лагранжа содержится первая в истории механики четкая формулировка принципа освобождаемости системы от связей.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Задачи о равновесии сложных механических систем
Общая формула динамики
Все закономерности динамики
Развитие и приложения общей формулы динамики
Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Жозеф Луи Лагранж (содержание)