Вращение твердого тела около неподвижной точки

Одним из важных технических запросов XVIII в. была проблема колебательного движения корабля при качке. Петербургская академия наук сформулировала эту проблему как задачу об остойчивости корабля. В процессе многолетней работы по этой проблеме Эйлер увидел необходимость построения теории вращательного движения твердого тела. Такие же проблемы выдвигала и астрономия. Необходимо было изучить вращение Земли, Луны и других небесных тел около собственной оси, а также прецессию и нутацию этой оси. Наконец, уже в то время начали пользоваться гироскопическими устройствами, нуждающимися в расчете вращения твердого тела около неподвижной точки.

В монографии «Корабельная наука» (1749) Эйлер начал разработку элементов теории распределения масс в твердом теле. Он установил важнейшее понятие свободной оси, нашел число свободных осей в твердом толе, сформулировал понятие центра инерции. Затем в серии мемуаров 50-х годов Эйлер шаг за шагом отрабатывал и шлифовал кинематику и динамику твердого тела с неподвижной точкой.

В окончательном виде уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (или около центра инерции для любого случая движения), отнесенные к системе осей, жестко связанных с самим телом и направленных по главным центральным осям инерции, появились в «Мемуарах» Берлинской академии наук в

1758 г., а в 1765 г. были включены в трактат «Теорий движения твердых или жестких тел, установленная на основных принципах нашего знания и приспособленная ко всяким движениям, которые могут иметь названные тела».

Проинтегрировать эти уравнения в общем виде Эйлеру не удалось. Он достаточно детально разработал решение задачи в случае движения тяжелого твердого тела, закрепленного в центре тяжести. Эйлер указал путь к полному решению этой задачи, но качественного исследования свойств движения не провел. Позже, в 1834 г., JI. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая движения твердого тела: ввел понятие эллипсоида инерции тела, показал, что в данном случае движение тела может быть рассмотрено как качение без скольжения эллипсоида инерции тела по некоторой неподвижной плоскости. Он же ввел понятия полодии и герполодии, провел геометрическое исследование случаев устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции.

Лагранж исследовал вращение твердого тела некоторой формы около неподвижной точки в 1773 г., опубликовав затем на эту тему мемуар, в котором дал несколько усовершенствованное рассмотрение этой задачи для случая, изученного Эйлером (т. е. без действия внешних сил). Позже, при подготовке второго издания «Аналитической механики», Лагранж вернулся к этой проблеме и начал более глубокое ее исследование, но не успел привести свои соображения в законченную форму. После смерти Лагранжа астроном Бинэ разобрал все отрывки исследований Лагранжа по вращению твердого тела, вплоть до его заметок на полях первого издания трактата. Все, что возможно, было включено во второе издание, а слишком отрывочные записи Лагранжа были помещены отдельно в конце второго тома, в кратком разделе под названием «Из черновых записей Ж. Лагранжа».

Исследование вращения твердого тела Лагранж начинает с выбора удобных угловых параметров, характеризующих движение системы около неподвижной точки. Вводится понятие мгновенной оси вращения (обоснование и более детальное введение этого понятия уже было сделано раньше), определяется положение мгновенной оси в неподвижном пространстве, рассматриваются так называемые кинематические уравнения Эйлера, выведенные заново в дифференциальной форме. Затем Лагранж приступает к выводу дифференциальных уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Повторяя этапы рассуждений Эйлера и Даламбера, проведенные ими для разделения поступательного движения тела и его вращения около центра масс, Лагранж акцентирует внимание на дифференциальных уравнениях вращательного движения тела около центра масс по отношению к абсолютно неподвижным декартовым осям координат. Лагранж отмечает, что аналогичные уравнения были получены еще Даламбером для вращательного движения тела любой формы, которые он применил при исследовании предварения равноденствий (по-видимому, Лагранж имеет в виду исследования Даламбера, относящиеся к 1747 – 1749 г.).

Лагранж замечает, что в этих уравнения не обладает той простотой, которая могла бы быть им придана. Он переходит к выводу уравнений, наиболее простых и наиболее удобных для вычислений, по его выражению. Вывод основан на применении уравнений, носящих теперь название уравнений второго рода. Лагранж выписывает выражения кинетической энергии системы и «полного момента» сил (по современной терминологии – суммарной элементарной работы всех сил на виртуальных перемещениях точек системы) и составляет дифференциальные уравнения. За обобщенные параметры он принимает углы Эйлера. Выведенные таким образом уравнения довольно громоздки. Лагранж указывает, что в этой форме он решал уравнения движения тела в задаче о либрации Луны; имеется в виду работа, премированная Парижской академией наук в 1764 г.

Далее Лагранж говорит, что к той же цели «можно прийти еще более прямым путем и при этом получить формулы, более изящные и во многих случаях более удобные для вычислений».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Разработка проблем гидромеханики
Скорость истечения воды из сосуда
Принцип движения жидкостей
Законы сопротивления в теории Лагранжа
Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)