Все закономерности динамики

Главное преимущество метода Германа и Эйлера состояло в том, что он позволил дать аналитическую запись выражения обеих категорий сил, фигурирующих в принципе Германа – Эйлера. Проекции активных сил, приложенных к точкам системы со связями. Для аналитического выражения второй категории сил, требуемых для совершения истинного совместного движения тел системы, Лагранж фактически (без специальной оговорки) применяет принцип ускоряющих сил: он записывает выражения сил в виде произведений масс точек на их ускорения, что в проекциях на декартовы оси координат.

По принципу Германа – Эйлера устанавливается динамическая эквивалентность вышеупомянутых категорий сил, что записывается посредством самого общего, по мнению Лагранжа, принципа статики – принципа виртуальных скоростей. Так приходит Лагранж к своей знаменитой общей формуле динамики.

Теперь это соотношение называют общим уравнением динамики системы Даламбера – Лагранжа. Так был найден алгоритм, дающий решение любой задачи механики. Многолетняя мечта передовых ученых века рационализма – одним законом охватить все проблемы механики – исполнилась. Со времени этого открытия прошло почти двести лет, но до сих пор ученый мир не перестает удивляться: «Неужели природа механической действительности так проста, что позволяет – даже Лагранжу – объять себя в единой формуле?».

Из этой формулы Лагранж поэтапно получает все закономерности динамики: ее общие теоремы, принцип наименьшего действия, все формы дифференциальных уравнений движения, теорему об устойчивости положения равновесия, все важнейшие свойства движения тел и системы.

Несмотря на совершенство формально-логических операций Лагранжа, в его трактате «Аналитическая механика» есть некоторые нечеткости в принципиальной части динамики. Об этом пишет А. Н. Крылов: «Лагранж совершенно не упоминает о знаменитых опытах Ньютона, которыми установлена пропорциональность массы весу тела независимо от его химического состава, иными словами, установлено постоянство ускорения силы тяжести в данном месте земной поверхности. Без этого установления понятие о массе, которого Лагранж совсем не дает, не имеет определенности, и, значит вся динамика как бы витает в эмпиреях как отрасль анализа, не связанная с физическою природою земных вещей, и кажется приложимой лишь к изучению движения тел небесных, которое само для себя устанавливает числовую меру их масс, в долях массы Солнца, принимаемой за единицу».

Далее А. Н. Крылов критикует определение силы Лагранжа, по которому «силы измеряются количеством движения» тела. В записях Лагранжа количества движения тела правильно приравниваются импульсу силы, так что на вычисления такое нечеткое определение не повлияло. Но в тексте трактата эта неточность усиливается дальнейшим рассуждением о так называемой «зарождающейся силе», которую Лагранж приравнивает произведению массы на ускорительную силу (так называли тогда ускорение). Крылов разъясняет, что попытка Лагранжа назвать «зарождающуюся силу» по-другому, например давлением или движущей силой, не вносит ясности в вопрос, что такое сила. Причину этой путаницы понятий А. Н. Крылов видит в том, что Лагранж стремился одновременно с эскизом исторического развития динамики (что, по выражению А. Н. Крылова, выполнено бесподобно) дать попутно определения ее основных понятий и формулировки основных законов. Это Лагранжу не вполне удалось, особенно на фоне педантичного стиля Ньютона, очень четко формулировавшего все главные положения.

«Лагранж в век Руссо, Вольтера, Даламбера, Дидро, последовавший за веком Расина и Корнеля, т. е. в век, когда красота стиля французских писателей достигла своего совершенства, захотел избавить и общую часть своего произведения от палисада педантизма, при котором не может быть и речи о красоте стиля; но здесь он, может быть, зашел несколько дальше, чем следовало».


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Развитие и приложения общей формулы динамики
Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Вращение твердого тела около неподвижной точки
Уравнения вращательного движения твёрдых тел в записи Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)