Задачи о равновесии сложных механических систем

Общепринята точка зрения на работы Лагранжа в области механики, как на чисто умозрительную работу математика, приводящего в порядок и в стройную систему множество известных фактов механики, разрабатывающего вычислительный аппарат науки, но не задумывающегося глубоко о содержании и механическом смысле вводимых им коэффициентов и математических приемов. Известны упреки в адрес Лагранжа-математика со стороны ученых, имеющих близкое отношение к технике. Вот один из примеров: «Для Лагранжа как математика при установлении им новой отрасли анализа достаточно было показать возможность выразить числом ту величину, которую он называет «силой», а соответствует ли это понятие тому, которое в обыденной жизни, в технике, ремеслах, производствах и физике установлено, ему как математику дела нет...». И далее, «Есть ли эта «лагранжева сила» та самая, которая проявляется в натяжении снасти корабля или в натяжении постромки артиллерийской упряжки, Лагранж не рассматривает».

Такие высказывания встречаются нередко; многие считали подход Лагранжа к проблемам и понятиям механики чисто математическим.

Эта критика справедлива в отношении общей формулировки понятия силы Лагранжа. Но в конкретных примерах Лагранж говорил совершенно ясно и обыденно о различных силах, что они представляют собой не что иное, как натяжение, или давление на поверхность опоры, или давление жидкости на стенки сосуда.

Четко сформулировав принцип освобождаемости системы от связей путем введения сил реакции связей Лагранж пишет: «Собственно говоря, рассматриваемые силы заменяют сопротивления, которые могут испытывать тела вследствие взаимной их связи или же вследствие наличия препятствий, которые в силу природы системы могут противодействовать их движению; больше того, эти силы представляют собой не что иное, как самые силы этих сопротивлений, которые должны быть равны и направлены прямо противоположно силам давления, развиваемым телами. Как видим, наш метод дает средство для определения этих сил и сопротивлений; в этом заключается одно из немаловажных преимуществ данного метода».

Немецкий ученый Г. Гамель считает, что принцип освобождаемости системы от связей, равно как и методы расчета реакций связей, впервые разработанные Лагранжей, – это душа его «Аналитической механики».

Установив общие свойства равновесия, Лагранж переходит к решению конкретных задач статики. Он рассматривает равновесие нескольких точек на невесомой нерастяжимой нити. Оперируя множителями X, он с предельной ясностью разъясняет их физический смысл:

«Ясно, что сила, вызванная в первом теле по направлению нити, соединяющей это тело со следующим, но противоположно направленная, – действующая на второе тело по направлению той же нити, не могут быть не чем иным, как силами, получившимися в результате реакции нити на оба эти тела, т. е. натяжения, испытываемого частью нити, содержащейся между первым телом и вторым, так что коэффициент выражает величину этого натяжения».

Даже с точки зрения современного учения о реакциях связей невозможно высказаться более отчетливо.

Далее Лагранж переходит к следующей задаче, вводя вместо нерастяжимой нити растяжимую упругую нить. Снова пользуясь методом множителей X, он находит уравнение равновесия и величину натяжения нити. Затем рассматривается равновесие трех или более точек на жестком стержне, на стержне упругом. Следующая ступень рассмотрения Лагранжа – равновесие непрерывно нагруженной нити: сначала нерастяжимой, затем растяжимой. Наконец, исследуется равновесие упругой пластины и некоторых других систем.

Во всех этих случаях расчет реакций связей и запись условий равновесия ведется совершенно одинаковым стандартным способом, что следует признать одним из главнейших преимуществ этого метода неопределенных множителей X.

Этот метод применяется им с большим успехом и в гидростатике несжимаемой, а затем сжимаемой жидкости. Здесь % означает «давление, испытываемое равномерно со всех сторон частицей жидкости, которому она противодействует благодаря своей несжимаемости».

Рассматривая равновесие несжимаемой жидкости с погруженным в нее твердым телом («ядром»), Лагранж определяет величину множителя %. Это «давление, которое жидкость производит на поверхность и которое уничтожается сопротивлением этого ядра». Учение о движении материального тела и системы тел строится Лагранжей на основе его общей формулы динамики и представляет собой сочетание принципа Даламбера (взятого в форме Германа – Эйлера) с принципом виртуальных скоростей. Метод неопределенных множителей распространен Лагранжем на различные случаи движения механических систем.

Общая формула статики Лагранжа и тесно связанный с нею метод неопределенных множителей открыли широкие возможности исследования самых различных случаев равновесия механических систем. Все результаты, получаемые методами геометрической статики, могут быть достигнуты и методами аналитической статики. Что касается задач о равновесии сложных механических систем (т. е. механизмов), то здесь методы аналитической статики имеют много преимуществ перед методами геометрической статики, где необходимо производить мысленные рассечения системы на части и вводить большое количество дополнительных (внутренних) сил.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Общая формула динамики
Все закономерности динамики
Развитие и приложения общей формулы динамики
Лагранж вводит уравнения движения
Виды дифференциальных уравнений движения
Метод вариации произвольных постоянных
Теория малых колебаний
Теория малых колебаний в работе Лагранжа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)