Законы сопротивления в теории Лагранжа

Следующий отдел трактата Лагранжа посвящен гидродинамике сжимаемых и упругих жидкостей. Предполагая, что течение потенциальное и закон Бойля – Мариотта выполняется, Лагранж линеаризует уравнение для Ф, считая колебания упругой жидкости малыми. Затем он еще более упрощает рассмотрение, ограничиваясь одномерным случаем «звучащей линии». Это позволяет ему проанализировать два примера: распространение звука в трубах и флейтах и распространение звука в свободной атмосфере. Полученная скорость звука отличалась от измеренной при опытах на значительную величину. Это объяснялось тем, что Лагранж, знакомый с адиабатическим законом изменения давления в зависимости от объема газа, предпочел воспользоваться упрощенным законом Бойля – Мариотта.

Подводя итог изложенному, следует отметить, что в XVIII в. в гидромеханике идеальной жидкости были достигнуты результаты, поставившие эту область на первое место среди других областей механики сплошной среды. Действительно, в основном в трудах Эйлера и Лагранжа были получены выражения для всех шести составляющих тензора деформации через составляющие перемещений. Уровень развития теории упругости к концу XVIII в. был иным, так как уже был накоплен обширный материал решения отдельных частных задач о равновесии и движении твердого тела с учетом упругих свойств материалов. Аналитический аппарат дифференциальных уравнений был применен только к рассмотрению одномерных задач теории упругости.

Не следует понимать успехи гидромеханики как одностороннее, чисто теоретическое развитие аналитического аппарата в полном отрыве от практически интересных частных случаев. Именно «понятийный» подход к изучению явлений гидродинамики проявили Д. Бернулли и Эйлер, установив и аналитически записав закон неразрывности жидкости. Будучи физиками по существу и имея огромный эмпирический материал, Даниил и Иоганн Бернулли разработали энергетический принцип гидромеханики, особенно эффективно применимый для одномерных течений жидкости. Этот метод долгое время был важнейшим инженерным способом расчета течения жидкости в трубах, струе, каналах с учетом вязкости и внутреннего трения жидкости.

Однако и чисто теоретические методы гидродинамики идеальной жидкости дали важнейшие для науки и ее приложений результаты: условие равновесия жидкости в поле консервативных сил, теория фигуры Земли, закон сохранения потенциального движения жидкости, интеграл Лагранжа; на этой базе была начата разработка теории волн. Однако из гидродинамики идеальной жидкости вытекали явно парадоксальные следствия, например парадокс Даламбера – Эйлера об отсутствии сопротивления при потенциальном безотрывном обтекании шара жидкостью.

Именно поэтому ученые, изучавшие физические свойства реальной жидкости, считали гидромеханику идеальной жидкости весьма ограниченной. Они полагали эту теорию сложной и исчерпавшей свои возможности. Такие ученые XVIII в., как Боссю, Купле, Шези, Дюбуа, Пито, видели надежду науки о движении жидкости в эксперименте. Даламбер тоже считал необходимым обратиться к эксперименту. Он вместе с Боссю и Кондорсе входил в комиссию при Парижской академии наук, созданную для исследования сопротивления воды при движении кораблей. Сотрудники комиссии нашли величины коэффициентов сопротивления при различных законах сопротивления по отношению к скорости движения корабля. Эти и многие другие данные о движении тел в реальной жидкости были использованы при построении математической теории движения вязкой жидкости в XIX в.

Знания, накопленные учеными XVIII в. о законах равновесия и движения жидкости, подвели механику начала XIX в. к обобщениям, которые выделили механику сплошной среды в самостоятельную дисциплину со своими понятиями и своим математическим аппаратом.


Жизненный путь Ж. Л. Лагранжа:

Работы по небесной механике
Проблемы определения орбиты небесных тел
Теория вариации произвольных постоянных в работах Лагранжа
Проблема вековых возмущений элементов орбит
Труды по теории вековых возмущений планет
Загадка векового ускорения Луны
Работа Лагранжа «О форме колонн»
Проблемы математического анализа
Жозеф Луи Лагранж (содержание)